Groupe de Galois d'extension non ramifiées

noradan
Modifié (26 Feb) dans Algèbre
$K^{ur}$ désigant l'extension maximale non ramifiée d'un corps local complet, il s'agissait de prouver que $Gal(\widehat{L^{ur}}/\widehat{K^{ur}})\simeq Gal(L/K_L)$ c'est-à-dire au groupe d'inertie.
Quelqu'un pourrait-il me confirmer ou m'infirmer la "preuve" suivante.
Tout d'abord le groupe de Galois entre complétés est le même que pour les corps de départ ou encore, le groupe de Galois est conservé par complétion.
Ensuite, on sait que tout corps local complet admet une unique extension de degré $f$ non ramifiée (dans une clôture séparable donné). On la note $K_f$.
On prouve également (par ex. Lang prop 8 p. 49) que le corps composé d'une extension non ramifiée par une extension finie $L$, est non ramifié. il en résulte que $L.K_f$ est une extension de $L$ non ramifiée.
Comme $[LK_f:L]=[K_f:K]=f$ on a $L_f=LK_f$.
En prenant la réunion on en tire $L^{ur}=LK^{ur}$ (qui désigne l'extension non ramifiée maximale).
On sait aussi que toute extension $L/K$ fini, séparable contient une unique sous-extension non ramifiée maximale (pour l'inclusion), $K_L$.
Ensuite $L\cap K^{ur}$ contient trivialement $K_L$ mais c'est également une sous-extension non ramifiée puisque c'est une sous-extension finie de $K^{ur}$. Il en résulte $L\cap K^{ur}=K_L$.
$L^{ur}/L$ est abélienne (de groupe de Galois $\overline\Z$,
$L/K_L$ est également abélienne et même cyclique. Par conséquent $L^{ur}=L\,K^{ur}/K_L$ est abélienne.
$K^{ur}/K_L$ est également abélienne donc d'après la théorie de Galois sur le losange
$$\xymatrix{
&LK^{ur}=L^{ur} \ar[dl] \ar[dr]\\
L \ar[dr]& &K^{ur} \ar[dl]\\
&L\cap K^{ur}=K_L
}$$ $L^{ur}=L\,K^{ur}/K^{ur}$ est galoisienne et
$Gal(L^{ur}/K^{ur})\simeq Gal(L/K_L)$ c'est-à-dire au groupe d'inertie.
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