Une possible généralisation ?

jelobreuil

Bonjour à tous,

Il y a maintenant un peu plus de deux ans, j'ai commencé à m'intéresser aux points d'intersection des médiatrices d'un triangle avec les droites portant les côtés, ainsi qu'aux cercles associés, ce qui a notamment donné lieu aux échanges suivants :
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2324780/trois-centres-alignes#latest
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2329064/des-intersections-alignees-avec-o/p2
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2333732/un-point-de-concours-et-deux-alignements-inattendus#latest
Un problème récent du site Diophante m'est apparu comme analogue, dans la mesure où il fait apparaître un même comportement des paires de triplets hauteurs-médiatrices et bissectrices-naguéloparallèles concourantes : les médiatrices sont les parallèles des hauteurs passant par le centre du cercle circonscrit, comme ce que j'appelle, faute de mieux, les naguéloparallèles sont les parallèles aux bissectrices passant par le point de Nagel. 

Ayant résolu ce problème (voir le pdf ci-joint), mais incomplètement (l'identification du point de concours au point de Nagel résultant des solutions analytiques, en barycentriques et complexes, apportées par les autres solutionnistes), je me suis demandé si l'on retrouvait dans cette configuration les mêmes résultats que pour l'autre système de céviennes et céviennoparallèles concourantes que sont respectivement les hauteurs et médiatrices, et la réponse est positive ! On obtient bien quatre droites des centres concourantes au point de Nagel ...

Alors je me demande.
Étant donné un triangle $ABC$, un point $P$ de son plan, et un autre point $Q$, on trace les parallèles aux $P$-céviennes passant par $Q$. On obtient en tout six points d'intersection de ces trois parallèles avec les trois droites portant les côtés du triangle, répartis de manière analogue à celle indiquée sur la figure, qui permettent de définir, là aussi, quatre paires de cercles, et quatre droites des centres.
Quel sont les lieux des points $P$ et de leurs associés $Q$ tels que les quatre droites des centres concourent en $Q$ ? Ces lieux contiennent au moins $H$ associé à $O$ et $I$ associé à $Na$.
Merci de votre intérêt pour ce problème. Bien cordialement, JLB

jelobreuil

Bonjour à tous,

Je me permets de faire remonter ce sujet dans la file ...

Bien cordialement, JLB