Le cercle des milieux d'un quadrilatère

S0_

Salut à tous,
Je voudrais avoir plus d'informations sur ce cercle que j'appelle ''cercle des milieux''..

J'appelle ici  ''cercle des milieux associé à un quadrilatère'' tout cercle passant par les milieux de deux côtés opposés et le point où sont sécants les supports de ces deux côtés.
Dans le cas où le quadrilatère n'est pas un parallélogramme nous avons toujours la chance de trouver au moins un cercle des milieux... Vous pouvez voir cela sur la figure où $ABCD$ est un quadrilatère (croisé ici)
$F$ est milieu de $[CD]$ et $E$ est milieu de $[AB]$,
$G$ le point d'intersection de $(AB)$ et $(CD)$

Cordialement
Bonaventure-S0_

jelobreuil

Bonsoir Bonaventure,

Je ne voudrais pas doucher ton enthousiasme, mais il faudrait que ton cercle passe au moins par un quatrième point particulier pour que ton message soit intéressant ... et a priori, je n'en vois pas ...

Bien amicalement, JLB

S0_

Salut JLB,
Tu vois que le cercle est simple mais ça me plairait que tu essaies de suivre mon développement sur ce gros sujet..
Cordialement
Bonaventure-S0_

jelobreuil

Je veux bien, mais quel développement ? celui à venir ?

JLB

S0_

Oui oui bien sûr,

Ce cercle cache beaucoup de nouveautés 
Selon moi et c'est pourquoi j'avais d'abord posé la question pour avoir ses caractéristiques ou un auteur de ce cercle...

Je vais commencer avec ces nouveautés..
Bonaventure-S0_

S0_

Salut à tous et à JLB,
 On peut avoir les deux autres cas de figures

Le quadrilatère convexe

Et celui concave

S0_

Une réponse très triviale,

Soit $H$ le point d'intersection des droites $(AB)$ et $(CD)$, et $E$ celui des médiatrices des segments $[AB]$ et $[CD]$

$[EH]$ est le diamètre de ce cercle..
Une conséquence :

Si $ABCD$ est inscriptible alors $E$ est le centre de ce dernier cercle $ABC$
Cette petite démonstration c'était pour mon avant dernier poste où Bouzar voulait utiliser la méthode des barycentres

La suite est en cours..
Bonaventure-S0_

S0_

Quand on considère un quadrangle,
Si ces côtés opposés ne se coupent pas en leurs milieux alors nous pouvons avoir trois cercles des milieux..

On peut le voir sur ce dessin un quadrangle dont je parle..
La première proposition est :
Les trois cercles des milieux se coupent en un point $S_o$..
On peut obtenir deux cas de figures : 
-Le cas où c'est un croisé ou convexe

-Le cas où c'est un concave

J'ai travaillé ces cas car j'ai une proposition particulière dans chacun de ces cas..
Dans un quadrangle qui a ces six côtés on peut former trois quadrilatères complets donc trois points de Miquel,
Les autres points de contact des cercles de milieux sont des points de Miquel

On peux avoir ces deux illustrations:
Première figure :

Deuxième figure :

Le premier cas nous montre un croisé ou un convexe avec le point $S_o$ et les trois points de Miquel $M_1,M_2$ et $M_3$  et une hyperbole à 10points dont point $S_o$ les 9 autres sont les milieux et les points d'intersections des côtes

Le deuxième cas nous montre le concave : avec toujours le point $S_o$ et les trois points de Miquel et une ellipse à 10 points dont $S_o$ que je connaissais bien avec 9 points (je crois avoir lu ça en rapport avec le cercle d'Euler sur Google)

Si $D$ devient l'orthocentre du triangle $ABC$ alors tout ce résume au cercle d'Euler

Bonaventure-S0_

S0_

Salut JLB,
Je pense arrêter là d'abord histoire que tu regardes si c'est cool avec ces cercles là..
Cordialement
Bonaventure-S_0