Groupe alterné et $2$-transitivité

topopot
Modifié (25 Feb) dans Algèbre
Bonjour
Je lis que lorsque $n\geqslant 4$, le groupe alterné $\mathfrak A_n$ agit $2$-transitivement sur $[\![1,n]\!]$ mais je ne comprends pas la justification.
Moi je pensais le justifier comme cela, j'avoue que c'est un peu lourdingue mais est-ce que c'est correct ?
Soient $(i,j)$ et $(k,l)$ dans $[\![1,n]\!]^2$ avec $i\neq j$ et $k\neq l$. Il s'agit de trouver $\sigma\in\mathfrak A_n$ tel que $k=\sigma (i)$ et $l=\sigma (j)$.
On pose $X:=\{i,j,k,l\}$.
On a $\lvert X\rvert\in\{2,3,4\}$ donc on distingue trois cas :
  • Si $\lvert X\rvert=4$, alors $\sigma:=(ik)(jl)$ convient.
  • Si $\lvert X\rvert=3$, alors on a deux sous-cas à considérer :
        → si $i=k$ et $j\neq l$ alors comme il existe $x\in [\![1,n]\!]\setminus X$ (car $n\geqslant 4)$, $\sigma:=(jl x)$ convient.
        → si $i\neq k$ et $j=l$ alors comme il existe $y\in [\![1,n]\!]\setminus X$ (car $n\geqslant 4)$, $\sigma:=(iky)$ convient.
  • Si $\lvert X\rvert=2$, alors on a deux sous-cas à considérer :
        → si $i=k$ et $j=l$ alors $\sigma:=\mathrm{Id}$ convient.
        → si $i=l$ et $j=k$ alors $\sigma:=(ij)(kl)$ convient.

Réponses

  • Bonjour,
    Le $\sigma$ que tu définis dans le cas $i=\ell$ et $j=k$ est l'identité. Ça ne va pas.
  • Ah effectivement, du coup pour ce cas là, on peut prendre deux éléments $a$ et $b$ distincts dans $[\![1,n]\!]\setminus X$ et $\sigma:=(ij)(ab)$. C'est bon ?
  • Poirot
    Modifié (25 Feb)
    On peut même faire plus fort, pour $n \geq 4$, $\mathfrak A_n$ agit $(n-2)$-transitivement sur $\{1, \dots, n\}$. Prenons $x_1, \dots, x_{n-2} \in \{1, \dots, n\}$ deux à deux distincts, et $y_1, \dots, y_{n-2} \in \{1, \dots, n\}$ deux à deux distincts et soit $\sigma \in \mathfrak S_n$ envoyant chaque $x_i$ sur $y_i$. Si $\sigma \in \mathfrak A_n$ il n'y a rien à faire. Sinon, en notant $\{1, \dots, n\} \setminus \{x_1, \dots, x_{n-2}\} = \{a, b\}$, posons $\tau$ la transposition $(a \, b)$. Alors il est clair que $\sigma \circ \tau \in \mathfrak A_n$ et envoie chaque $x_i$ sur $y_i$.

    "Fun fact" : les groupes $\mathfrak S_n$ et $\mathfrak A_{n+2}$ sont les seuls groupes finis possédant une action $n$-transitive dès que $n \geq 6$ !
  • topopot
    Modifié (25 Feb)
    Ah merci Poirot, ce résultat arrive plus loin dans le cours que je lis :smile:
    Je relirai ta démonstration si celle du cours ne me convient pas, ce qui arrive de temps à autre.
  • NicoLeProf
    Modifié (25 Feb)
    Bonjour,
    oui je pense que ça marche avec la rectification du tout dernier cas @topopot.
    D'ailleurs, peux-tu nous montrer la justification que tu ne comprends pas dans le cours que tu lis?
    Géniale la preuve de Poirot !!! Si je comprends bien, Poirot utilise le fait que toute action $k$-transitive est $i$-transitive pour tout $1 \leq i \leq k$ et en particulier transitive mais la réciproque est fausse. 
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (25 Feb)
    @Poirot : Pourrais-tu préciser l'énoncé fun que tu mentionnes ? Ça m'intéresse bien. Merci !

    En fait, je ne suis pas sûr de comment le formaliser précisément. Une proposition : si un groupe (fini ?) $G$ agit $n$-transitivement sur un ensemble $E$ à $n$ éléments avec $n\geq 6$, alors $G\simeq \mathfrak{S}_n$ ou $G\simeq \mathfrak{A}_{n+2}$ ?
  • Poirot
    Modifié (25 Feb)
    C'est plus fort que ça, c'est un isomorphisme de "groupe avec action". Autrement dit on a également une bijection entre $E$ et $\{1, \dots, n\}$ ou $\{1, \dots, n+2\}$ telle que ladite bijection et l'isomorphisme entre $G$ et $\mathfrak S_n$ ou $\mathfrak A_{n+2}$ induisent la même action.
    La démonstration de ce résultat nécessite la classification des groupes finis simples, donc est loin d'être triviale. Il existe un nombre fini de groupes finis $4$-transitifs et qui ne sont pas $\mathfrak S_n$ ou $\mathfrak A_{n+2}$ avec $n \geq 4$. Pour les actions "moindrement transitives" on peut trouver des familles infinies.
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