Déterminant positif ou nul

etanche
Modifié (24 Feb) dans Algèbre
Bonjour 
$A,B \in M_6(R)$, avec $A^2+B^2=AB+A+B-I_6$
Montrer que $\det(AB-BA)\geq 0$ 
Merci.

Réponses

  • C'est marrant, $A^2 + B^2$ d'un côté, $AB-BA$ de l'autre, ça me rappelle une certaine identité...
  • JLapin
    Modifié (25 Feb)
    La relation $(I+jA+j^2 B )(I+j^2 A+jB) = j(BA-AB)$ fournit $(-j)^6 \det(AB-BA)\geq 0$ donc $\det(AB-BA)\geq 0$.
  • Jolie astuce, JLapin ! Cela montre, en prime, que si $n\not\in3\Z$ (les matrices étant cette fois de format $(n,\,n)$), alors $AB-BA$ est de déterminant nul.
  • jandri
    Modifié (25 Feb)
    Très jolie astuce !

    Avec l'hypothèse la propriété $\det(BA-AB)\geq 0$ est vraie pour tout $n\in\N^*$.
  • Tu as raison, jandri : $BA-AB$ est plus naturel que $AB-BA$ ; d'ailleurs, même l'hypothèse initiale est peu naturelle : si l'on pose $A=I+M$ et $B=I+N$, il s'agit alors de trouver le signe du déterminant de $NM-MN$, sachant que, plus simplement, on a $M^2+N^2=MN$.
  • Pour la formulation de John, on peut ajouter une 3eme matrice



    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • gebrane
    Modifié (25 Feb)
    Bonjour
    Est ce que quelqu'un peut résoudre cette question (Je sèche lamentablement.)
    $$\text{Soient } X, Y \in M(n, \mathbb{Q}) \text{ tels que } (X-Y)^2 = XY. \text{ Prouver que } \det(XY-YX) = 0.$$ Source 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • john_john
    Modifié (25 Feb)
    Bonsoir, fiston :)

    Ne changeons pas une équipe qui gagne : $A^2+B^2=2AB+BA$ (je note $A$ et $B$ les matrices)

    $(A+B\alpha)(A+B/\alpha)=(2+\displaystyle\frac1\alpha)AB+(1+\alpha)BA$ pour un $\alpha$ à choisir ultérieurement ; cela correspond au $\rm j$ de JLapin.
    $\alpha=\displaystyle\frac{-3+\sqrt5}2$ (pour avoir $AB-BA$ en facteur) donne $(A+B\alpha)(A+B/\alpha)=\displaystyle\frac{1-\sqrt5}2(AB-BA)$ et ensuite
    $\Big(\displaystyle\frac{1-\sqrt5}2\Big)^n{\rm det}\,(AB-BA)={\rm det}\,(A+B\alpha)\cdot{\rm det}\,(A+B/\alpha)\in\Q$ car $1/\alpha$ est le conjugué de $\alpha$ dans l'extension quadratique $\Q[\alpha]$.

    Puisque $\Big(\displaystyle\frac{1-\sqrt5}2\Big)^n$ n'est jamais rationnel, on conclut.
  • Précision : pourquoi $\Big(\displaystyle\frac{1-\sqrt5}2\Big)^n$ n'est-il jamais rationnel ? Pour le voir, le développer par la formule du binôme et constater que ce réel est de la forme $x_n-\sqrt5y_n$, où $x_n$ et $y_n$ sont rationnels et où $y_n>0$.
  • Waw, Parfait 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Très très joli.
  • Certes, mais je n'y aurais pas pensé sans l'astuce de JLapin !
  • Vive la conjugaison sous toutes ses formes :)
  •  John, je soupçonne que Jlapin est un olympien, car l'astuce est du genre de questions posées aux olympiades (voir mon message précédent)."
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Non, je ne suis pas si fort : j’ai simplement regardé ce que donnait la seule identité remarquable que je connaisse qui a un lien avec j (on pense assez facilement à j au vu de la taille des matrices de l’énoncé). 
  • john_john
    Modifié (26 Feb)
    Bon ; c'est un peu anecdotique, mais je me suis demandé si, pour $n=3$, on pouvait trouver $A$ et $B$ satisfaisant à $A^2+B^2=AB$ et ${\rm det}(AB-BA)<0$.
    En voici un exemple, avec $A$ et $B$ nilpotentes de rang $2$ :
    $$A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&1\\1&0&-1\end{pmatrix},\qquad
    [A,\,B]=\begin{pmatrix}0&-1&1\\1&0&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}$$
    Ensuite, ces matrices peuvent servir de briques pour la construction d'exemples non triviaux en dimension $3k$.
  • etanche
    Modifié (10 Jul)
    Bonjour 
    $A,B \in M_6(R)$ 
    $A^2+B^2=AB+A+B-I_6$
    Montrer $det(AB-BA)\geq 0$
    Merci

    [Discussions regroupées. --JLT]
  • JLapin
    Modifié (10 Jul)
    Bonne lecture.

    D'où vient cet exo qui te préoccupe aussi fréquemment ?
  • gebrane
    Modifié (11 Jul)
    Jlapin, si tu n'es pas un Olympien, alors tu es un Ulmien.

    Y en a-t-il d'autres ?
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • gebrane a dit :
    Jlapin, si tu n'es pas un Olympien, alors tu es un Ulmien.
    Je ne confirme ni n'infirme :)

    gebrane a dit :
      Y en a-t-il d'autres ?
    Au moins dSP

  • gebrane
    Modifié (11 Jul)
    $
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


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