Loi normale et transformée inverse

Soit N: x -> N(x) la fonction de répartition de la loi Normale centrée réduite N(0,1). Considérant alpha, beta > 0 et une variable aléatoire X de loi N(0,1), quelle est la distribution de la variable aléatoire Y définie par :
Y = N(alpha* X + beta) ?

Réponses

  • zygomathique
    Modifié (25 Feb)
    Salut
    $F(x) = P(X \le x) = \int_{- \infty}^x f(t)dt $, où $F$ et $f$ sont la fonction de répartition et la densité de la loi normale centrée réduite.
    $G(y) = P(Y \le y) = P(aX + b \le y) = ... $
    Enfin, si je comprends bien ton énoncé parce que ça ne veut pas dire grand chose ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • akbar3
    Modifié (27 Feb)
    Merci de ta reponse.
    Y est une fonction de la loi de repartition de N(0,1). Pour reprendre ce que tu ecris (en corrigeant la definition de G):
    zygomathique a dit :
    Salut
    $F(x) = P(X \le x) = \int_{- \infty}^x f(t)dt $, où $F$ et $f$ sont la fonction de répartition et la densité de la loi normale centrée réduite.
    $G(y) = P(Y \le y) = P(N(aX + b) \le y) = ... $
    Enfin, si je comprends bien ton énoncé parce que ça ne veut pas dire grand chose ...
    Quand X suit N(0,1), le resultat de transformee inverse dit que N(X) suit une loi uniforme. Ici l'expression est plus generale : Y = N(aX+b).
    La question est de savoir quelle est la distribution de Y.
    J'espere que cela clarifie.
  • gerard0
    Modifié (27 Feb)
    Bonjour.
    Pour éviter les confusions dues à l'utilisation de la même lettre $N$ pour deux usages différents, je note $F$ la fonction de répartition de la loi Normale centrée réduite :
    $F(t) = \frac 1 {2\pi}\int_{- \infty}^t e^{-\frac{x^2}2} \ dx$
    Tu veux déterminer la loi de $Y=F(\alpha X+\beta)$, sachant que $X$ suit lui-même la loi Normale centrée réduite.
    Il existe plusieurs méthode, en voici une pour débutant. D'abord, $F$ varie entre 0 et 1, donc on sait que la densité de $Y$ sur $]-\infty,0]$ et sur $[1,+\infty[$ est nulle. Reste à la déterminer entre 0 et 1. On va passer par la fonction de répartition de $Y$, que je note $G$, qui vaut 0 sur $]-\infty,0]$ et  1 sur $[1,+\infty[$; pour $t\in [0,1]$ on a
    $G(t) = P(Y<t) = P(F(\alpha X+\beta)<t) = P(\alpha X+\beta<F^{-1}(t))$ ou je note $F^{-1}$ la réciproque de $F$, considérée comme application de $\mathbb R$ dans $[0,1]$. Finalement
    $G(t) = P(X<\frac{F^{-1}(t)-\beta}{\alpha}) = F(\frac{F^{-1}(t)-\beta}{\alpha})$.
    La fonction $F$ n'a pas d'expression simple, sa réciproque encore moins, mais tu as ta réponse ; tu auras la densité en dérivant.
    Cordialement.
  • Merci Gerard pour ta reponse.

    C'est effectivement ce que j'obtenais de mon cote, mais j'esperais une expression plus intuitive de la distribution obtenue apres la transformation lineaire. Voire s'il existait une forme close pour la fonction cumulative ou la densite.

    Bien cordialement.
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