Projection

Simeon-urbain
Modifié (24 Feb) dans Algèbre
Bonjour,
pourquoi une projection orthogonale est-elle un endomorphisme symétrique ?   Merci. S_U

Réponses

  • NicoLeProf
    Modifié (24 Feb)
    Plusieurs méthodes : soient $E$ un espace vectoriel euclidien et $p : E \rightarrow E$ une projection orthogonale. 
    On a : $E=\ker (p-id_E) \oplus \ker(p-id_E)^{\perp}$ (*). 
    Soient $x, y \in E$.
    Il s'agit de montrer que $\langle p(x),y \rangle=\langle x, p(y) \rangle$, ce qui est faisable en décomposant $x$ et $y$ grâce à (*) et en utilisant la bilinéarité du produit scalaire.
    N'hésite pas à me proposer un raisonnement en utilisant ce que j'ai rappelé ci-dessus et je peux t'aider davantage si tu as besoin.
    OU bien : tu démontres que la matrice de $p$ dans une base orthonormée de $E$ est symétrique, ce qui est faisable grâce à l'expression de $p$ en présence d'une base orthonormée. Ou en ayant recours à la diagonalisation aussi. 
  • Simeon-urbain
    Modifié (25 Feb)
    Bonsoir
    merci je vais suivre ces premiers conseils. Je vous laisse tranquille le we merci de cette aide,
    cordialement. S_U
  • Simeon-urbain
    Modifié (26 Feb)
    Bonjour NicoLeProf
    voici ce que  j'ai fait.
    Merci bonne journée.

  • Tu ne peux pas te contenter de vérifier que $(x|p(x)) =(p(x)|x))$ pour montrer que $p$ est symétrique : ce serait "trop simple" et tous les endomorphismes de $E$ seraient alors automatiquement symétriques.
  • Oui attention Simeon-urbain, comme JLapin te le signale, il ne s'agit pas de cela, tu fais un contresens sur la définition.
    La définition d'un endomorphisme $p$ symétrique de $E$ est : $\forall x,y \in E$, $\langle p(x),y \rangle=\langle x, p(y) \rangle$.
    Prends deux vecteurs $x, y$ quelconques dans $E$, décompose les grâce à la somme directe (*) que j'ai écrite plus haut et prouve que $p$ est un endomorphisme symétrique grâce à la définition que je viens de rappeler dans ce message.
  • Simeon-urbain
    Modifié (26 Feb)
    Bonjour,
    merci de vos conseils, je me remets à l'ouvrage
    s-u
  • Simeon-urbain
    Modifié (26 Feb)
    re Bonjour,
    soit x=u+v,  y= a+w, u et a appartiennent à ker(p-id) , v et w appartiennent à son orthogonal,

    et  je fais (px,y)= (pu,a+w)= (u,a+w)=(u,a).  puis. (u+v,p(a+w))=(u+v,pa+pw)=(u+v,a)=(u,a).  là j'ai bon ?  
    Remarque : (s,t) = produit scalaire  vous aviez compris.
    Merci s-u
  • En soi oui c'est "correct", on voit que tu as compris, c'est pas mal.
    Maintenant, j'ai envie de te dire de soigner la rédaction et de faire attention aux notations employées (pas introduire les notations qui t'arrangent mais respecter les notations classiques) afin de faire preuve de rigueur.
  • Simeon-urbain
    Modifié (26 Feb)
    Bonsoir et merci,
    quel logiciel pour écrire les math. merci.
    Bonne soirée S_U
  • NicoLeProf
    Modifié (27 Feb)
    Tu as le $\LaTeX$ qui écrit de jolies mathématiques.
    Pour débuter, je te conseille de télécharger MikTex sur le site officiel en cherchant sur google.
    Ensuite, tu as plein de tutos disponibles sur internet pour apprendre les commandes.
    Tu peux aussi cliquer en faisant un clic droit sur les formules du forum et les coller en faisant la combinaison de touches : Shift+Ctrl+V. 
    Exemple (clic droit puis "show maths as" puis "tex commands") : $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$. 
    Puis tu peux coller la formule avec : Shift+Ctrl+V (pour supprimer le formatage du forum).
  • bonjour et merci de ce précieux conseil

      aplus cordialement.  s-u
  • Simeon-urbain
    Modifié (7 Mar)
      Bonjour  NicoLeProf.  je suis allé sur le site Miktex ... mais il faut donner son numéro de carte,   m'étant fait voler 1500€ récemment sur un site 
    demandant la dite carte, je n'ai pas renouvelé la désastreuse expérience.   Bonne journée  Simeon.
  • JLapin
    Modifié (7 Mar)
    Sur ce site, on t'a demandé ton numéro de carte bleue ??
    https://miktex.org/
  • Bonjour Simeon,
    ah ouf : heureusement que tu n'as pas donné ton numéro de carte bleue, tu as dû tomber sur un site frauduleux dans ta recherche ! Le site que je t'ai conseillé correspond au lien donné par JLapin ci-dessus !
    Il faut être prudent avec internet et le site officiel miktex.org ne demande pas de numéro de carte bleue bien sûr !
  • Simeon-urbain
    Modifié (11 Mar)
    Bonsoir,
    merci, mais je n'ai pas donné la carte bleue je vais maintenant sur le site  de Jlapin.
    Ouf merci et bonne soirée ,,
    simeon
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