Lieux

Piteux_gore

Bonjour,
Quelqu'un a récemment émis le souhait de voir plus de Lebossé sur ce forum.... Vox populi vox dei, tu quoque mi fili !...

(Exercice 213)

Le sommet $A$ et le cercle $(O)$ circonscrit au triangle $ABC$ sont fixes, tandis que l'angle en $A$ est constant ; on complète le parallélogramme $BACD$.

1) Lieux du centre de gravité $G$ et de l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$ ?

2) Lieux du point $D$ et de l'orthocentre $H'$ du triangle $BCD$ ?

3) Lieux du centre de gravité $G'$ et du centre $O'$ du cercle circonscrit au triangle $BCD$ ?
Que la farce soit avec vous !...

Chaurien

Mon cher Piteux_gore, je ne te comprends pas.

Tu nous mets sous le nez un énoncé pris dans notre cher vieux Lebossé-Hémery, un parmi les 845 (plus les 15 gros textes de Concours général). Aujourd'hui c'est le 213, et demain ? Tu es toi-même un mathématicien de qualité, alors pourquoi ne pas résoudre toi-même ce problème, quitte à questionner le forum si ça coince à un moment ?

Les forumeurs qui n'auraient pas l'accès au Lebossé-Hémery (s'il en existe) doivent savoir que cet énoncé figure dans le chapitre « Homothétie », ça peut servir...

Bien amicalement,

Fr. Ch.

Rescassol

Bonsoir,

Que des cercles, à part $H'$ qui est fixe. Ce n'est pas très compliqué avec Morley circonscrit.

Cordialement,
Rescassol

Chaurien

Bon, l'angle $A$ étant constant, la longueur de la corde $BC$ l'est aussi. Le lieu du milieu $M$ de $BC$ est donc un cercle de centre $O$.

Comme $\overrightarrow{AG}=\frac 23 \overrightarrow{AM}$, le lieu de $G$ est un cercle homothétique du lieu de $M$. 

Et comme $\overrightarrow{OH}=3 \overrightarrow{OG}$ (droite d'Euler), le lieu de $H$ est encore un cercle, toujours par homothétie, le titre du chapitre.

Et ainsi de suite...

Tout ça est du niveau du petit élève de Math-Elem de 1961-62 qui avait déjà ce manuel, sans bien sûr le maîtriser, il s'en faut de beaucoup, même soixante ans après...

pappus

Merci Piteux_gore

Une indication:

Cet exercice est tiré du chapitre sur les homothéties mais bien entendu il n'est pas interdit d'utiliser l'espace des cercles et son cortège de calculs d'autant plus qu'il n'y en a que pour eux dans cette figure!

Une difficulté?

Tout simplement faire la figure!

Amicalement

pappus

pappus

OK

Piteux_gore

RE
J'avais depuis longtemps cet exercice et sa solution dans mes archives.... Il n'est guère compliqué, mais permet de se familiariser avec les homothéties.
J'en ai quelques dizaines d'autres du Lebossé dans mes tablettes, mais je ne sais s'ils plairaient...
Bonne navigation et méfiez-vous des icebergs !...

Chaurien

Ça me fait penser à quelque chose... Nos collègues des États-Unis ont fait paraître en 2010 un recueil de solutions des problèmes posés dans le traité de géométrie de Jacques Hadamard, ce que nous n'avions jamais fait.

https://bookstore.ams.org/mbk-70

Qu'attendent nos géomètres pour faire de même avec le Lebossé-Hémery ? Déjà Piteux_Gore en a « quelques dizaines ». C'est un bon départ...

Piteux_gore

Ave
Voici la liste des Lebossé que j'ai faits
1-28, 30-59, 61-64, 67-70, 73-76, 88-89, 91-99, 101-104, 106-109, 112, 114, 116, 119, 121, 123-130, 132-134, 136-137, 142-143, 147-148, 150-152, 161, 168, 173, 188-191, 193-195, 199, 204-210, 212-213, 221-223, 228-229, 231, 233, 235, 241, 271-274, 290, 302-303, 316, 322, 344, 438-439, 672.
Que Kâli, la noire déesse de la mort et du temps qui tue toute chose, vous protège !...

Chaurien

Bravo Piteux_Gore, peut-être un groupe de géomètres pourrait-il s'organiser pour éditer un corrigé des problèmes du Lebossé-Hémery.

A part ça, je ne vois pas une déesse de la mort qui me protège, je préfère la vie pour ce faire. Laissons Kâli à son aire de compétence, l'Inde, et si nous voulons des dieux, préférons les nôtres.