Clarification sur la continuité et les limites

UItraviolet

Bonjour à tous
Pourriez vous m'aider à clarifier un point que je ne saisis pas très bien. Voici un exo dans lequel il est utilisé : 

Il s'agit de la preuve de l'implication $(ii)\Rightarrow (iii)$ : 

Je ne comprends pas pourquoi la continuité du polynôme est ici un argument. Est-ce que la proposition sous-jacente est celle-ci : 

Dans ce cas, je ne comprends pas pourquoi ça ne s'appliquerait pas à $x \mapsto \frac{1}{x} $ qui est continue sur $]0,1]$, mais qui n'admet pourtant pas de limite finie en $0$ qui est pourtant un point d'accumulation de l'ensemble de départ. 

Voilà je pense qu'il y a quelque chose de fondamental que je n'arrive pas à saisir et qui m'empêche de bien saisir pourquoi le passage à la limite dans les inégalité de l'exo est licite. 
Merci à ceux qui auront pris le temps de lire,
UItraviolet

gerard0

Bonjour.
Dans ton "contre-exemple", tu n'as pas $a\in D$.

On a besoin de la continuité pour passer à la limite puisque les points de $U$ ne sont pas dans $D$. Le $D$ de la proposition 20 est en fait $\bar D$ sur lequel  le polynôme est bien continu.
Cordialement.

UItraviolet

Je ne comprends pas, je ne suis pas censé avoir besoin de $a \in D$ mais juste de $a \in \bar{D}$, non ? Si je prends n'importe quel voisinage de $0$, je vais forcément intersecter des éléments de $]0,1]$ différents de $0$ ? Encore autrement, j'ai la suite $(\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}^*}$ suite de $]0,1]$ qui tend vers $0$ ? Donc la proposition 20 s'appliquerait dans ce cas là.

Pour revenir à l'exercice, dans l'implication qu'on cherche ici à montrer, il n'est pas dit que le polynôme est continu sur $\bar{D}$, sauf si on admet alors le résultat de la proposition 20, qui dit que comme $U \in \bar{D}$, alors par continuité du polynôme, il admet une limite sur $U$.
Cordialement.

bisam

Il me semblait qu'on dit que $a$ est un point d'accumulation de $A$ si d'une part il est dans $A$ et d'autre part il est adhérent à $A\setminus\{a\}$.

Tu oublies la première partie de la définition.

Correctif : Apparemment, je me trompais dans la définition. Rien n'impose que $a\in A$.

UItraviolet

Ah ok c'est peut-être là que le bât blesse, voilà la définition de point d'accumulation que j'avais enregistrée.

gerard0

La continuité des polynômes  est une des propriétés basiques du chapitre sur la continuité. Un polynôme est continu sur $\mathbb C$ tout entier.

Ma remarque sur $a\in D$ renvoie à ta "proposition 20" où c'est écrit exactement comme ça.

gebrane

Moi je ferais comme ca Soit $z\in U$ et soit $z_m=\frac m{m+1}z$ alors  $\forall m\in\N, z_m\in D$ et $z_m\to z$ et je passe à la limite dans l'inégalité

UItraviolet

La continuité des polynômes de degré fini est en effet une des propriétés basiques du chapitre sur la continuité, mais quand on se place à la limite ça ne me paraissait plus aussi intuitif, donc là vous me confirmez, qu'on peut manipuler pour tout $n \geq N$, pour tout $p \geq 0$ et pour tout $z \in D$, 
$$ \left|\sum_{k=n}^{n+p}a_{k}z^{k}\right|.$$ 
comme étant basiquement la valeur absolue d'un polynôme de degré fini, et ce, sans problème. Ça peut paraître débile dit comme ça mais j'ai vraiment l'impression de manipuler quelque chose de faux, parce que, qu'est-ce qui me dit, que pour $z$ évalué en $1$ par exemple, l'égalité reste vraie, étant donné que cette l'inégalité avec le $\varepsilon$ a été obtenue pour tout $z$ dans $D$ mais pourtant $1 \notin D$.

JLapin

L'avantage du critère de Cauchy est effectivement de manipuler des sommes finies.

UItraviolet

Ok bon bah je dois avouer que ça défie complétement mon intuition cette histoire, c'est assez dingue. Concernant mon "contre-exemple" avec la fonction inverse, je reste toujours sceptique concernant l'énoncé de la proposition 20. Si $a \in \bar{D} \backslash D$ qu'est-ce qu'il se passe, il y a un problème non ?

JLapin

Ta fonction inverse n'est pas continue en $0$ alors que toutes les fonctions polynomiales sont continues en tout point de $\C$.

Et dans P20, $a$ appartient forcément à $D$ sinon, $f$ n'est pas définie en $a$ et donc ça n'a pas de sens d'étudier sa continuité en $a$.

Note que P20 n'est pas vraiment à lier avec ce qui précède sur l'étude de la tranche de Cauchy.

UItraviolet

Ok merci je crois que ça commence à devenir plus clair. 

bisam

@Ultraviolet : Je me trompais sur la définition d'un point d'accumulation. C'est seulement un point $a$ qui est dans l'adhérence de $A\setminus\{a\}$.