Une inégalité dans $\mathbb{R}^2$

Ramufasa

Bonjour
J'aurais besoin d'aide pour une petite inégalité.

Est-il vrai que pour $a, b > 0$, on a : $4 (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \leq a \times \text{log} \frac{a}{b} - (a - b)$ ?

J'ai essayé de développer ou d'étudier la fonction qui à $(a, b)$ associe la différence entre les deux membres mais rien n'y fait, je dois être rouillé.
Une petite aide ?
Cordialement,
Ram

zygomathique

Salut
puisque a et b sont strictement positifs cette inégalité s'écrit encore $a^2 + 4(a - b)^2 - b^2 \le 2a^2 \log \dfrac a b $
soit en divisant par $a^2$ et en posant $x = \dfrac b a $ : $ 1 + 4(1 - x)^2 - x^2 \le -2 \log x$ 
l'étude de la fonction $ f : x \mapsto x^2 - 4(1 - x)^2 - 1 - 2 \log x $ devrait être plus simple ...

Chaurien

C'est la bonne attaque, et il faut continuer. On voit sans mal que cette fonction $f$ n'est positive que sur un petit intervalle $]0, \xi[$, où $\xi  \simeq 0,14$.

Math Coss

En effet, la dérivée se factorise : $f'(x)=\dfrac{-2(3x-1)(x-1)}{x}$.

L'inégalité du début est fausse en tout cas.

sage: F(a,b) = 4*(sqrt(a)-sqrt(b))^2-a*ln(a/b)+a-b
sage: F(1,.1)
0.467592778871250
sage: F(1,.5)
0.149998569947674
sage: F(1.,.01)
-0.375170185988091

gebrane

Bonjour, pourquoi as-tu besoin de cette inégalité, c'est pour démontrer la positivité de $ a \times \text{log} \frac{a}{b} - (a - b)$  .?

Ramufasa

Bonjour à tous,

merci pour vos retours ! @Chaurien j’ai tracé la courbe représentative de la fonction et il me semble qu’elle est positive sur la réunion de deux petits intervalles ! Me trompé-je ?

@gebrane Cette question provient d’un exercice de théorie de l’information. In fine, je voulais obtenir une borne sur la divergence de Kullback-Leibler entre deux distributions mais je dois passer par une autre voie visiblement…

Chaurien

@Ramufasa

Regarde la dérivée calculée par @MathCoss. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0, \frac13]$, strictement croissante sur $[\frac13,1 ]$, et strictement décroissante sur $[1,+\infty[$. Comme $f(1)=0$, la fonction $f$ est strictement négative sur $[\frac13,1[$U $]1,+\infty[$. Comme sa limite en $0$ est $+\infty$, la fonction $f$ s'annule pour un seul $\xi \in ]0, \frac13[$, et elle est positive sur $]0,\xi[$ et négative sur $]\xi, \frac13[$.

Voici ce que dit WolframAlpha :

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+-2+lnx+-3x^2+8x-5,+x=0.05+to+1.5

Pour mieux voir ce qui se passe autour de $1$, tu peux modifier les bornes.

C'est une étude de fonction de niveau Terminale, me semble-t-il.