Loi floutée dans le cadre de l'EMC

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On considère l'exercice suivant

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Ce qui me gène sont les questions 3 et 5 je posterai ce soir.

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Voilà pour information le traitement des 2 premières questions préliminaires.

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Q3a.

Lorsqu'on prend un cours sur les EMC, partant de $Y_i=a+b.X_i+U_i$, le calcul des estimateurs se fait en cherchant les extrema de $\displaystyle{S(a,b)=\sum_{i=1}^{N} (Y_i-a-b.X_i)^2}$ qui donne $\hat{b_0}$.

La formule standard est $\displaystyle{\hat{b_0}=\frac{\sum_{i=1}^{N} (Y_i-\overline{Y})(X_i-\overline{X})}{\sum_{i=1}^{N} (X_i-\overline{X})^2} }$

L'idée est de ne pas prendre en compte le bruit issu des $U_i$.

Ensuite quand on prend l'énoncé, si on considère $\displaystyle{S(a,b)=\sum_{i=1}^{N} (Y_i-a-b.X_i-U_i)^2}$ on dérive par rapport à $b$ et on a

$\displaystyle{S'(b)/2=\sum_{i=1}^{N} b.X_i^2-X_i.Y_i+a.X_i+X_i.U_i=0 }$

Alors $\displaystyle{\hat{b_0}=\frac{\sum_{i=1}^{N} X_i(Y_i-a-U_i) } {\sum_{i=1}^{N} X_i^2} }$

La deuxième réponse qui semble plus être dans l'attendu du sujet me gène.

Le cadre de l' EMC est cassé et l'estimateur de $b$ ne peut s'écrire en fonction de $b$, puisque on le déduit des données statistiques.

Ensuite Q3b m'ennuie : je ne vois pas comment passer à la limite quand $N$ est très grand. Doit on passer par les valeurs moyennes ?

L'énoncé voulait-il dire en fonction de $a$ plutôt que $b$ ?