Comment bien rédiger

Amadou
Modifié (21 Feb) dans Fondements et Logique
Salut ! Je rencontre des difficultés lors de la rédaction des démonstrations en mathématiques, en particulier dans les exercices qui exigent une démonstration. En tant que débutant, je n'ai pas été bien initié, formé à bien élaborer des démonstrations mathématiques au lycée, à l'exception des calculs littéraux. J'aimerais solliciter votre aide afin de mieux (bien) comprendre comment rédiger efficacement en mathématiques, à travers des exemples et des conseils. Comment puis-je trouver une idée lorsque je suis bloqué et que je ne sais pas par où commencer ? Je suis familier avec la définition des quantificateurs, mais j'aimerais apprendre à les utiliser correctement dans mes rédactions d'exercices, en utilisant des mots tels que soit, il existe, alors, donc, entraîne etc. Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses

  • jelobreuil
    Modifié (21 Feb)
    Bonsoir, Amadou
    D'abord en faisant attention à l'orthographe, en ne confondant pas infinitif et participe passé ...
  • Chaurien
    Modifié (21 Feb)
    « Comment bien rédigé » (sic). Déjà en évitant les fautes d'orthographe dans le titre, comme dit Jelobreuil.
  • Bonsoir,
    Un jour, j'ai rédigé ce PDF qui donne la plupart des méthodes de rédaction classiques en maths. Attention, il a dû être relu un faible nombre de fois, il est donc largement possible qu'il contienne des typos, fautes d'orthographe ou fautes de maths.
    Apprendre à rédiger est difficile, cela demande du temps. En général, la première année d'étude est consacrée en grande partie à cet apprentissage. Ce qui est écrit dans ce document peut paraître simple mais exige énormément de temps pour être assimilé. N'hésite pas si tu as des questions sur ledit document, ou si tu veux des retours de rédaction sur des exercices de ce document (ou autre).
    Je reprécise que ce document a été écrit un soir après une longue journée où j'en avais assez de répéter les mêmes choses aux élèves. Il existe sûrement tout un tas de documents analogues qui font le même travail en mieux et écrits par des gens plus compétents que moi. SI ça t'intéresse, bonne lecture !
  • Je pense que tu démarres bien en te posant la question de ce que c’est qu’une démonstration mathématique et des manques que tu as pu avoir à ce sujet au lycée. En continuant sous cet angle, et à mesure que tu progresseras dans ta compréhension de ce que veut dire démontrer, la qualité de ta rédaction progressera en parallèle. 

  • lourrran
    Modifié (21 Feb)
    J'avais mis ce lien dans mes favoris. A la fin du document, il y a quelques liens vers d'autres documents similaires.

    Pour le choix entre l'infinitif (rédiger) ou le participe passé (rédigé), il y a une technique simple. C'est ''à l'oreille''.
    La difficulté est sur les verbes du 1er groupe, ceux qui finissent par ER (rédiger, parler, marcher ...)
    Par exemple, tu as cette phrase dans ton message :  
    je n'ai pas été bien formé à bien élaboré ...
    Faut-il écrire formé ou former ? élaboré ou élaborer ?
    Dans ta tête, tu remplace ce verbe par un verbe du 3ème groupe ( vendre, lire, prendre, suivre ... disons n'importe quel verbe qui finit par RE).

    Je remplace le verbe former par le verbe suivre, le verbe élaboré par le verbe lire. Evidemment, ça ne veut plus dire grand chose, mais peu importe.
    je n'ai pas été bien (suivre ou suivi ?) à bien (lire ou lu ?)
    A l'oreille, l'arbitrage est facile :
    Je n'ai pas été bien suivre suivi à bien lire lu .
    Suivi, c'est le participe passé, ce n'est pas l'infinitif (il n'y a pas ER ni RE à la fin). Donc pareil pour formé : le participe passé.
    Lire, c'est l'infinitif (ça finit par RE ou ER), donc pareil pour élaborer : il faut mettre l'infinitif.
    Correction : 
    je n'ai pas été bien formé à bien élaborer ...
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Dom
    Dom
    Modifié (22 Feb)
    1) Apprendre à bien rédiger : j’ajoute un léger complément. 
    Écrire « ce que je sais » (les hypothèses) puis « ce que je veux démontrer », si possible en langage quantifié est déjà une des premières choses à faire. 
    Parfois ça passe par « ce que je cherche ». La précision de ce que l’on est en train de faire dans une rédaction permet d’être mieux compris mais surtout permet à soi-même de structurer sa démonstration. 
    2) Apprendre à avoir des idées : à part l’expérience, ma thèse est que cela, ça ne s’enseigne pas. On va avoir une idée, j’ose dire « c’est comme ça ». Et puis un autre jour on n’en aura pas. Je crois qu’on en a déjà parlé. 
    a) on connaît les maths à un certain niveau
    b) on doit résoudre une question : ça consiste à appliquer ce que l’on sait. Mais comment partir ?
    il n’y a pas de règles, sauf pour « les classiques » que l’on rencontre pendant sa formation initiale. 
    Je reconnais que c’est un point de vue que l’on a le droit de ne pas partager. 
  • @jelobreuil @Chaurien j'ai compris ohhh. 
  • Amadou
    Modifié (22 Feb)
    @Heuristique merci pour le document. J'adore lire et je vais le lire attentivement. Si je ne comprends pas certaines parties, je vous reviendrai vers vous pour demander plus d'explications.
  • @JLapin merci pour le lien du document.
  • Amadou
    Modifié (22 Feb)
    lourrran a dit :
    J'avais mis ce lien dans mes favoris. A la fin du document, il y a quelques liens vers d'autres documents similaires.
    Merci pour ce lien.
    Ah, je comprends maintenant. Et je trouve pratique votre méthode. Vous êtes aussi prof de Français :) ? Il y a une règle que je n'ai pas oublié, lorsque nous avons un à, pour devant alors le verbe se met immédiatement à l'infinitif.
  • Amadou
    Modifié (22 Feb)
    Dom a dit :
    2) Apprendre à avoir des idées : à part l’expérience, ma thèse est que cela, ça ne s’enseigne pas. On va avoir une idée, j’ose dire « c’est comme ça ». Et puis un autre jour on n’en aura pas. Je crois qu’on en a déjà parlé.
    Avec moi je ne pense pas, ou bien sur le forum. Si oui pourrais-je avoir le lien d'accès à cette discussion.
    il n’y a pas de règles, sauf pour « les classiques » que l’on rencontre pendant sa formation initiale. 
    Les classiques c'est-à-dire ? Est-ce que vous faites référence au génie. 
    Je reconnais que c’est un point de vue que l’on a le droit de ne pas partager. 
    Je respecte le point de vue mais j'aimerais savoir pourquoi ? Je crois que chacun a sa propre manière de fonctionner, et il est possible qu'un mot ou un conseil donné par quelqu'un d'autre puisse être un atout pour  toi, t'aidant à y voir plus clair les choses.
  • Chaurien
    Modifié (22 Feb)
    J'avais initié un fil sur la rédaction mathématique à partir d'un texte de Samir Kaddouri : 
    J'ai l'impression que ce texte n'est plus accessible dans le fil en question, alors le voici à nouveau.
    La discussion a fait apparaître des nuances, c'est très bien.
  • Matricule_63
    Modifié (22 Feb)
    @Amadou les "classiques" sont des exercices... "classiques", c'est-à-dire qu'on retrouve très souvent dans les bouquins et les cours, et donc qu'on maîtrise parce qu'ils sont familiers.

    Typiquement en analyse, quand on connait le "bon changement de variable" pour un certain type d'intégrale, les exos deviennent faciles. Par contre, si on ne connait [pas] ce "bon changement de variable", le trouver seul peut ne pas être évident.
  • Coucou @Amadou, :)
    je poste sur ce fil, ci-dessous, un exercice fait par mes soins sur les bases de l'algèbre linéaire.
    Cet exo a sa place ici car je veux que tu le fasses très soigneusement en faisant très attention à la rédaction (le vocabulaire employé, les connecteurs logiques etc. L'utilisation des expressions : "soit", "il existe" etc.)
    Exercice (pour Amadou) : soient $\mathbb{K}$ un corps et $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels.
    Soit $f : E \rightarrow F$ une application linéaire. 
    1) Soit $H$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que $f(H)$ est un sous-espace vectoriel de $F$. 
    2) Soit $L$ un sous-espace vectoriel de $F$. On rappelle que $f^{-1}(L)$ est l'image réciproque de $L$ par l'application $f$ (à ne pas confondre avec la notion de bijection !). On a : $f^{-1}(L)=\{x \in E \text{ }  | \text{ } f(x) \in L\}$. 
    Montrer que $f^{-1}(L)$ est un sous-espace vectoriel de $E$. 
    3) Soit $a \in E$. Montrer que $f(Vect\{a\})=Vect\{f(a)\}$. 
    4) (Bonus : plus difficile).
    Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x_1,...,x_n$ $n$ vecteurs de $E$.
    Montrer que $f(Vect\{x_1,...,x_n\})=Vect\{f(x_1),...,f(x_n)\}$.
    Amuse toi bien ! <3;)
  • Amadou
    Modifié (22 Feb)
    Salut @NicoLeProf j'espère que vous allez bien. Merci beaucoup pour ce devoir.

    Vu l'exercice, d'après mon instinct et de ce que j'ai appris sur les groupes et les anneaux, il me semble que l'exercice est un peu similaire à celui des groupes. Puisque dans un Théorème que j'ai appris il est dit que : Soit $f$ une application de $E$ vers $F$ qui est un morphisme de groupes. Si $H$ est un sous-groupe de $E$ alors $f(H)$ est un sous-groupe de $F$. Si $L$ un sous-groupe de $F$ alors $f^{-1}{(L)}$ est un sous-groupe de $E$. Je pense aussi qu'une application linéaire d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ est aussi  un morphisme de groupes.

    Est-ce que c'est correct ? J'espère que je suis parti sur de bonnes bases en lisant l'énoncé.

    Je vais faire de mon mieux pour mieux rédigé, pour le moment je suis en train de travailler sur le brouillon.
  • Pour le dernier sur les vecteurs, je n'y connais pas grand-chose non plus. J'ai découvert les termes famille libre, famille liée, famille génératrice et les bases seulement hier. Je vais faire de mon mieux pour comprendre, et après voir ce que je peux faire.
  • Amadou
    Modifié (22 Feb)
    Ah oui je vois c'est un peu similaire à $f(\lambda x)= \lambda f(x)$. 
  • @Chaurien merci pour le document.
  • gerard0
    Modifié (22 Feb)
    Bonjour Amadou.
    Pour $f(H)$, il y a une similarité, mais on peut faire la preuve sans parler de groupes, elle tient peu de lignes. Tu as vu une caractérisation (*) des sev, il te suffit de l'utiliser. Pour l'instant, tu as parlé de la question, mais tu n'as pas encore essayé de rédiger une preuve, ce que te demandait Nico.
    Cordialement.
    (*) propriété permettant de démontrer facilement.
  • Amadou
    Modifié (22 Feb)
    Matricule_63 :a dit :
    @Amadou les "classiques" sont des exercices... "classiques", c'est-à-dire qu'on retrouve très souvent dans les bouquins et les cours, et donc qu'on maîtrise parce qu'ils sont familiers.
    Ah   :o , je ne n'avais pas vu juste. Une fois de plus un nouveau terme appris. Merci pour l'éclairage.
  • Amadou
    Modifié (22 Feb)
    Oui bonjour @gerard0 ! En ce moment, je travaille sur un brouillon et je trouve qu'il est plus facile de rédiger le soir depuis ma machine que sur mon téléphone.
  • Pas de problème, prends ton temps.
  • NicoLeProf
    Modifié (22 Feb)
     Je pense aussi qu'une application linéaire d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ est aussi  un morphisme de groupes.
    Est-ce que c'est correct ? J'espère que je suis parti sur de bonnes bases en lisant l'énoncé.

    C'est une très bonne réflexion de ta part @Amadou, je t'en félicite ! Précise bien que $E$ et $F$ sont des espaces vectoriels sur un corps $\mathbb{K}$. Dès lors, une application linéaire $ f : E \rightarrow F$ vérifie en particulier que : $\forall x,y \in E$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$ donc $f$ est aussi un morphisme de groupes du groupe additif $(E,+)$ dans $(F,+)$.

    L'analogie avec les groupes de ta part est très bonne, mon exo (du moins pour les deux premières questions) ressemble beaucoup aux autres énoncés que tu as écrits sur les groupes.
    Néanmoins, je veux que tu rédiges mon exo soigneusement. ;) Prends le temps qu'il te faut ! :)
  • Dit comme ça « une application linéaire d’une e.v. E vers un e.v. F est aussi un morphisme de groupe » je pense que c’est un peu dangereux ou bancale. Sauf à éventuellement préciser lesdits groupes dans la phrase. Mais ça ne dérange peut-être que moi…
  • C'est ce que j'ai écrit dans mon message ci-dessus en précisant quels sont les groupes mis en jeu non ?
  • Oui, oui, mon message confirme ce que tu dis et ne critique pas 😀
  • Ah ok merci Dom ! ^^' :)
  • Amadou
    Modifié (22 Feb)
    NicoLeProf a dit :
    Exercice (pour Amadou) : ...
    1) Supposons que l'application $f$ est linéaire, et supposons que $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$. 

    Soit $x\in H$, on a :
    $0x\in H \Rightarrow 0\in H \Rightarrow f(0)\in f(H) \Rightarrow 0\in f(H) \quad \text{(car} \,\ f \,\ \text{est linéaire)*}.$
    Donc $f(H)\neq 0$

    Soient $\alpha \in \mathbb K$ et $u, v\in f(H)$ alors il existe $x$ et $x'$ $\in E$ tels que $u=f(x)$ et $v=f(x')$. 
    $\alpha u + v = \alpha f(x) + f(x') = f(\alpha x) + f(x') = f(\alpha x + x') \quad \text{($f$ est linéaire)}$
    D'où  $\alpha u + v \in f(H)$. 
    Donc $f(H)$ est un sous-espace vectoriel de $F$. 
    2) Supposons que $L$ est un sous-espace vectoriel de $F$.
    $f^{-1}\neq 0$ car $f(0)=0 \in L$
    Soient $f(x) , f(x') \in L$ alors il existe $y, y' \in E$ tels que $x=f^{-1}(y)$ et $x'=f^{-1}(y')$.
    $\alpha x + y = \alpha f^{-1}(y) + \alpha f^{-1}(y') = f^{-1}(\alpha y) + f^{-1}(y') = f^{-1}(\alpha y + y')$. D'où $\alpha x + y \in f^{-1}(L)$.
    Donc $f^{-1}(L)$ est un sous-espace vectoriel de $E$. 
    3) Soit $a\in E$. Supposons que $Vect\{a\}=E$, il existe $x\in E$ tels que $x=\alpha a$.
    Par composition de f on a : 
    $f(x)= f(\alpha a) = \alpha f(a)$. 
    D'où $f(Vect\{a\}) = Vect\{f(a)\}$.
    4) Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x_1,...,x_n$ $n$ vecteurs de $E$, et $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3,...,\alpha_n \in \mathbb K$.
    Supposons que $Vect\{x_1,...,x_n\}$ alors il existe $x\in E$ tels que $x=\alpha_1 x_1 +....+\alpha_n x_n$.
    Par composition de f on a : 
    $f(x)= f(\alpha_1 x_1+ \alpha_2 x_2+...+\alpha_n x_n) = \alpha_1 f(x_1) + \alpha_2 f(x_2) + ... + \alpha_n f(x_n)$. 
    Donc $f(Vect\{x_1, x_2,...,x_n\}) = Vect\{f(x_1)\} + Vect\{f(x_2)\}+...+Vect\{f(x_n)\} = Vect\{f(x_1), f(x_2),...,f(x_n)\}$.
    D'où $f(Vect\{x_1,...,x_n\})=Vect\{f(x_1),...,f(x_n)\}$.

    * $f$ est linéaire donc on a $f(0)=0.$

    Pour les questions 3) et 4) c'est ce qui me vient à l'esprit. 

  • Amadou
    Modifié (22 Feb)
    NicoLeProf a dit :
    Néanmoins, je veux que tu rédiges mon exo soigneusement. ;) Prends le temps qu'il te faut ! :)
    Je pense que j'ai fais de mon mieux en me donnant le maximum dans ma rédaction. Par contre pour les deux dernières questions, je ne suis pas certain d'après très bien compris ces notions.
  • NicoLeProf a dit :

    C'est une très bonne réflexion de ta part @Amadou, je t'en félicite ! 

    Merci beaucoup ! 💪💪💪
  • C'est une très bonne réflexion de ta part @Amadou, je t'en félicite ! Précise bien que $E$ et $F$ sont des espaces vectoriels sur un corps $\mathbb{K}$. Dès lors, une application linéaire $ f : E \rightarrow F$ vérifie en particulier que : $\forall x,y \in E$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$ donc $f$ est aussi un morphisme de groupes du groupe additif $(E,+)$ dans $(F,+)$.
    D'accord ! C'est bien noté.

  • NicoLeProf
    Modifié (22 Feb)
    @Amadou, voici des commentaires point par point sur ce que tu as écrit. Il y a de très bonnes choses mais aussi des choses à améliorer.
    J'écris mes commentaires en gras ci-dessous : 

    1) "Supposons que l'application $f$ est linéaire, et supposons que $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
    Soit $ x \in H$, on a :
    $ 0x \in H \Rightarrow 0 \in H \Rightarrow f(0) \in f(H) \Rightarrow 0 \in f(H)$ (car $f$ est linéaire)*.
    C'est confus ce que tu as écrit ici. Pourquoi prendre $x$ alors qu'il s'agit seulement de montrer que $f(H)$ est non vide (qu'il contient $0$ a priori).
    Regarde comment je rédige : $0 \in H$ car $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$ donc $f(0)=0$ appartient à $f(H)$.
    Pas besoin de $x$ ici et de $0x$, c'est trop confus même si toutes les idées sont présentes.

    Donc f(H)≠0
    Attention, il y a une erreur importante ici. Il ne faut pas confondre les notations, tu as seulement montré que $f(H)$ contient $0$ donc $f(H)$ est non vide et on note : $f(H) \neq \emptyset$.
    Une dernière remarque : avant de te lancer dans le coeur de la démonstration, écris rapidement (même si c'est une évidence) que $f(H) \subseteq F$ car $H \subseteq E$.

    Soient $\alpha  \in K$ et $u, v \in f(H)$ alors il existe $x$ et $x′  \in E$ tels que $u=f(x)$ et $v=f(x′)$.
    C'est bien niveau rédaction mais il y a une grosse erreur sur l'ensemble d'appartenance de $x$ et $x'$. On a : $u, v \in f(H)$ donc il existe $x, x' \in H$ tel que $f(x)=u$ et $f(x')=v$. Très important que $x$ et $x'$ soient dans $H$ pour prouver ce que l'on veut ensuite.

    $\alpha u+v=\alpha f(x)+f(x′)=f(\alpha x)+f(x′)=f(\alpha x+x′)$ ($f$ est linéaire)
    D'où  $\alpha u+v \in f(H)$.
    Presque parfait ici ! J'aurais bien voulu voir l'argument clé toutefois qui te permet d'affirmer que $ \alpha u+v \in f(H) $. Qu'est-ce qui fait que cela fonctionne? Que $\alpha x+x′ \in H$ car $x, x' \in H$ et $\alpha \in K$ et que $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ($H$ est stable par combinaisons linéaires en tant que s.e.v de $E$ !).

    Donc $f(H)$ est un sous-espace vectoriel de $F$. "
    C'est pas mal même s'il y avait des erreurs ! Poursuis tes efforts !
  • NicoLeProf
    Modifié (22 Feb)
    2) Supposons que $L$ est un sous-espace vectoriel de $F$.
    $f^{−1} \neq 0$ car $f(0)=0 \in L$.
    Un premier problème ici, que veux-tu dire par $f^{−1} \neq 0$ ? Attention à ne pas t'embrouiller sur les notations. Sois bien précis, regarde: $f(0)=0$ et $0 \in L$ car $L$ est un sous-espace vectoriel de $F$ donc $f(0) \in L$ et ainsi, $0 \in f^{-1}(L)$ d'où $f^{-1}(L) \neq \emptyset$.
    De plus, $f^{-1}(L) \subseteq E$ car $L \subseteq F$.

    Soient $f(x),f(x′)∈L$ alors il existe $y,y′∈E$ tels que $x=f^{−1}(y)$ et $x′=f^{−1}(y′)$.
    Ouille... Je t'avais pourtant mis en garde dans mon exo ci-dessus et on en avait déjà parlé dans un autre post sur l'image et le noyau d'une application linéaire. Qui te dit que $f$ est bijective et donc que $f^{-1}$ existe? On n'en sait rien !!! Donc on fait sans cette hypothèse supplémentaire. Il ne faut pas confondre $f^{-1}$ (bijection réciproque de $f$ quand $f$ est bijective) et image réciproque d'un ensemble par une application. Je t'avais bien rappelé la définition de $f^{-1}(L)=\{x \in E \text{ } | \text{ }  f(x) \in L\}$.

    $\cancel{αx+y=αf^{−1}(y)+αf^{−1}(y′)=f^{−1}(αy)+f^{−1}(y′)=f^{−1}(αy+y′)}$
    D'où $ αx+y∈f^{−1}(L)$.
    Donc $f^{−1}(L)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
    Allez, on recommence la question 2 dans la bonne humeur, ce n'est pas grave Amadou !!!
    Je t'aide : soient $x, x' \in f^{-1}(L)$ (on parle de $f^{-1}(L)$ ici, on veut prouver que c'est un s.e.v de $E$). Alors $f(x) \in ...$? Et $f(x') \in ...$?

  • Donc f(H)≠0
    Attention, il y a une erreur importante ici. Il ne faut pas confondre les notations, tu as seulement montré que $f(H)$ contient $0$ donc $f(H)$ est non vide et on note : $f(H4) \neq \emptyset$.
    Oui je pensais avoir écrit le $F(H) \neq \emptyset$, mais je ne l'avais pas vu du tout. Une manque d'inattention de ma part.
    Une dernière remarque : avant de te lancer dans le coeur de la démonstration, écris rapidement (même si c'est une évidence) que $f(H) \subseteq F$ car $H \subseteq E$.
    J'avais pensé à écrire (dans le sens de l'inclusion stricte) mais je me suis dit que c'est evident de vue , mais là je vois une inclusion large. 
    Donc $f(H)$ est un sous-espace vectoriel de $F$. "
    C'est pas mal même s'il y avait des erreurs ! Poursuis tes efforts !
    Ça fait vraiment plaisir lorsqu'on de voir ses progrès :)
    NicoLeProf a dit :
    2) Supposons que $L$ est un sous-espace vectoriel de $F$.
    $f^{−1} \neq 0$ car $f(0)=0 \in L$.
    Un premier problème ici, que veux-tu dire par $f^{−1} \neq 0$ ? Attention à ne pas t'embrouiller sur les notations. Sois bien précis, regarde: $f(0)=0$ et $0 \in L$ car $L$ est un sous-espace vectoriel de $F$ donc $f(0) \in L$ et ainsi, $0 \in f^{-1}(L)$ d'où $f^{-1}(L) \neq \emptyset$.
    De plus, $f^{-1}(L) \subseteq E$ car $L \subseteq F$.
    Oh non, encore une de plus, j'ai manqué d'attention. C'est bien .  Je vois ça demande beaucoup de rigueur une demonstration mathématique. 
    Allez, on recommence la question 2 dans la bonne humeur, ce n'est pas grave Amadou !!!
    Avec grande joie ! Je recommence en m'appuyant sur votre aide. Mais je ne comprends pas les points ?. Puisque je n'en sais rien sur la bijectivité de l'application $f$, mais j'aimerais savoir si cela est permise de faire la composition de l'application c'est-à-dire si $x' \in f^{-1}(L)  \text{ alors} f(x') \in f(f^{-1}(L)) = L$ ?
  • Avec les commentaires en gras c'est encore plus facile à comprendre.
  • Je rajouterais également aux très bonnes remarques de @NicoLeProf que tu dois absolument éviter le symbole $\Rightarrow$ pour le moment.
    Ce symbole ne se maîtrise pas au premier coup d’œil et il est très facile d'écrire des choses fausses avec.
    Notamment, si $P,Q$ désignent des phrases mathématiques, les phrases "$P \Rightarrow Q$." et "$P$. Donc $Q$." n'ont rien à voir.
    Dans "$P \Rightarrow Q$", tu dis "Si $P$ est vraie alors $Q$ est vraie.". Tu ne sais alors pas du tout si $P$ est vraie, si $Q$ est vraie, tu ne sais pratiquement rien à la fin de ton raisonnement. Tout ce que tu sais, c'est que si $P$ est vraie alors $Q$ est vraie.
    Dans "$P$. Donc $Q$.", tu commences par annoncer que $P$ est vraie. Ensuite, tu en déduis que $Q$ est vraie. A la fin de ton raisonnement, tu as démontré que $P$ était vraie et $Q$ aussi, c'est tout de même vachement mieux !
    Conseil : les symboles $\Rightarrow$ et $\Leftrightarrow$ doivent pour le moment être bannis de tes démonstrations. Au passage, tu remarqueras que peu de gens sur le forum les utilisent dans des démonstrations.
  • Foys
    Modifié (23 Feb)
    Une preuve est une suite finie de phrases $P_1,...,P_n$ telles que pour tout $i\leq n$, $P_i$ est un axiome ou bien une phrase telle q'il existe $j<i$ et $k<i$ tels que $P_k$ est l'énoncé "$P_j \text{ implique } P_i$".
    Un théorème est un énoncé qui est à la fin d'une preuve.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • "Avec grande joie ! Je recommence en m'appuyant sur votre aide. Mais je ne comprends pas les points ?. Puisque je n'en sais rien sur la bijectivité de l'application f, mais j'aimerais savoir si cela est permise de faire la composition de l'application c'est-à-dire si $x′∈f−1(L)$ alors $f(x′)∈f(f−1(L))=L$ ?"
    Tu vois ici Amadou, il y a une autre erreur plus subtile qui permet de constater que ce n'est pas du tout facile de débuter en maths et que tu es bien courageux et admirable dans ta démarche ! On a vite fait d'écrire quelque chose de faux et malheureusement, aussi étrange que cela puisse paraître, nous n'avons pas l'égalité $f(f−1(L))=L$. Pour être plus précis, si $f$ est surjective, alors on aura cette égalité (la réciproque est vraie aussi) sinon non et seulement une inclusion à savoir $f(f−1(L)) \subseteq L$ . Eventuellement, nous en reparlerons plus tard.
    Après avoir bien lu les remarques très pertinentes de Heuristique, je lui renvoie son très gentil compliment, je te laisse continuer avec mes indications suivantes : 
    2) Soient $x, x' \in f^{-1}(L)$ et $\alpha \in \mathbb{K}$.
    Alors $f(x) \in L$ et $f(x') \in L$. (En effet, $f^{-1}(L)=\{x \in E \text{ } | \text{ }  f(x) \in L\}$ : $f^{-1}(L)$ est l'ensemble des antécédents tels que leurs images par $f$ sont dans $L$). Donc si tu prends deux éléments dans $f^{-1}(L)$ disons $x$ et $x'$, leurs images : $f(x)$ et $f(x')$ sont des éléments de $L$).
    On a bien sûr : $f^{-1}(L) \subset E$ et $f^{-1}(L) \neq \emptyset$ car $0 \in f^{-1}(L)$ (puisque $f(0)=0$ et $0 \in L$).
    On a : $f(\alpha x+x')=...$.
    Or, $.... \in ...$ car ... Donc ... ?
  • Chaurien
    Modifié (23 Feb)
    Une recherche sur « comment rédiger en mathématiques » sur Google donne de nombreux résultats. Il ne faut peut-être pas tout prendre, mais globalement on y trouve de bons conseils.
    Il me revient le souvenir d'un texte humoristique d'un collègue de prépa d'un lycée du nord, me semble-t-il, sur « comment mal rédiger en mathématiques ». Malheureusement j'ai oublié la référence exacte. Peut-être quelqu'un le retrouvera-t-il, c'était très bien venu et plein d'esprit.
  • Amadou
    Modifié (23 Feb)
    "Avec grande joie ! Je recommence en m'appuyant sur votre aide. Mais je ne comprends pas les points ?. Puisque je n'en sais rien sur la bijectivité de l'application f, mais j'aimerais savoir si cela est permise de faire la composition de l'application c'est-à-dire si $x′∈f−1(L)$ alors $f(x′)∈f(f−1(L))=L$ ?"
    Je crois que j'ai bien écrit $f(f^{-1}(L))=L$ au lieu de $f(x′)∈f(f−1(L))=L$.
    Tu vois ici Amadou, il y a une autre erreur plus subtile qui permet de constater que ce n'est pas du tout facile de débuter en maths et que tu es bien courageux et admirable dans ta démarche ! 
    Vraiment je l'ai remarqué dès le départ ! Parfois, il est vraiment difficile de formuler quelque chose, surtout si on ne connaît pas beaucoup de mots (surtout leur signification en mathématiques). Et le pire, c'est quand on a une idée en tête mais qu'on a du mal à trouver l'exprimer. Souvent je me demande comment vous arrivez à expliquer avec autant de faciliter.
    ... Eventuellement, nous en reparlerons plus tard.
    D'accord ça serait très bénéfique pour moi.

    J'ai une question à propos de l'application $f$. Comme il s'agit de différentes questions sur la même application, je me demande s'il faut redéfinir en disant soit $\alpha \in \mathbb{K}$. J'ai été averti dans un autre fil de ne pas le faire, car cela avait déjà été fait au début comme je l'ai fait dans la question 1). Est-ce que je dois quand même le redéfinir comme ici dans la question 2) ?

    Je reprends en complétant !

    2) Soient $x, x' \in f^{-1}(L)$ et $\alpha \in \mathbb{K}$.
    Alors $f(x) \in L$ et $f(x') \in L$. (En effet, $f^{-1}(L)=\{x \in E \text{ } | \text{ } f(x) \in L\}$ : $f^{-1}(L)$ est l'ensemble des antécédents tels que leurs images par $f$ sont dans $L$). Donc si tu prends deux éléments dans $f^{-1}(L)$ disons $x$ et $x'$, leurs images : $f(x)$ et $f(x')$ sont des éléments de $L$).
    On a bien sûr : $f^{-1}(L) \subset E$ et $f^{-1}(L) \neq \emptyset$ car $0 \in f^{-1}(L)$ (puisque $f(0)=0$ et $0 \in L$).
    On a : $f(\alpha x+x')=f(\alpha x) + f(x') = \alpha f(x) + f(x')$.
    Or, $ f(x)$ et $f(x') \in L$ car $x, x'\in f^{-1}(L)$. Donc $f^{-1}(L)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ?
  • @Heuristique merci pour la mise en garde. J'ai bien noté.
  • Amadou
    Modifié (23 Feb)
    Chaurien a dit :
    Il me revient le souvenir d'un texte humoristique d'un collègue de prépa d'un lycée du nord, me semble-t-il, sur « comment mal rédiger en mathématiques ». 
    Je pense que c'est plus facile d'écrire mal en mathématiques, mais ce n'est pas tout le monde qui peut bien rédiger en maths. Je dirais que lorsque tu comprends comment bien rédiger, le reste est comment mal rédiger :).
    Chaurien a dit :
    Une recherche sur « comment rédiger en mathématiques » sur Google donne de nombreux résultats. Il ne faut peut-être pas tout prendre, mais globalement on y trouve de bons conseils.
    D'accord ! Sinon je me rappelle avoir posé une question du genre comment apprendre plus facilement les mathématiques. Mais hélas la quasi-totalité des conseils donnés s'adresse aux élèves.
  • Bonjour @Amadou ,
    Ici, $f$ a été définie dans l'énoncé donc inutile de la redéfinir. Pour $\alpha, x, x'$, mieux vaut les redéfinir car il s'agit d'une nouvelle preuve et que ces lettres ne sont pas des constantes de l'exercice, simplement des variables qui n'existent plus à la fin de ta preuve, tout comme des variables non globales ne sont plus connues à la fin d'un programme.

    Ta preuve de 2) est déjà beaucoup mieux ! Quelques remarques.
    A) Inutile de justifier pendant de longs discours que si $x \in f^{-1}(L)$ alors $f(x) \in L$, c'est la définition.
    B ) Pour ta preuve de $f^{-1}(L) \neq \varnothing$, je ne suis pas un grand fan de ta suite de "car" et "puisque" (elle n'est pas fausse, je trouve juste ça peu élégant). J'aurais plutôt dit "Par linéarité de $f$, $f(0) = 0 \in L$ car $L$ est un sous-espace vectoriel. Donc $0 \in f^{-1}(L)$ et $f^{-1}(L) \neq \varnothing$". (Au passage, j'aurais écrit ça avant d'introduire $x,x',\alpha$ qui concerne une autre partie de ta preuve).
    C) Dans tes 2 dernières lignes, tu veux montrer $\alpha x + x' \in f^{-1}(L)$, il faut l'écrire. Inutile au passage de rejustifier $f(x) \in L$, tu l'as déjà montré. J'aurais donc plutôt dit "Par linéarité de $f$, $f(\alpha x + x') = \alpha f(x) + f(x') \in L$ car $L$ est un sous-espace vectoriel. Donc $\alpha x + x' \in f^{-1}(L)$."
  • NicoLeProf
    Modifié (23 Feb)
    "Je crois que j'ai bien écrit $f(f^{−1}(L))=L$ au lieu de $f(x')∈f(f^{−1}(L))=L$."
    Oui mais il est toujours faux d'écrire $f(f^{−1}(L))=L$ Amadou.
    Lis bien les commentaires de @Heuristique : il a tout dit !
    Mea culpa pour tes points A) et B ) Heuristique : Amadou a repris ce que j'ai écrit au-dessus pour le guider et lui expliquer les choses.
    Je reconnais que ce que j'ai écrit (ton point B ) n'est pas très élégant, je voulais aller vite sur cette partie basique et mettre un raisonnement à compléter pour Amadou surtout pour le cœur de la preuve.
    Oui attention @Amadou pour la fin de ta preuve à 2) : ce qui est important ici est d'écrire que $\alpha f(x) + f(x') \in L$ car $L$ est un sous-espace vectoriel de $F$ (stable par combinaisons linéaires) et que $f(x) \in L$, $\alpha \in \mathbb{K}$ et $f(x') \in L$.
  • Reprenons maintenant la question 3 de mon exo ci-dessus.
    Voici ce que tu as écrit Amadou :
    "3) Soit $a∈E$. Supposons que $Vect\{a\}=E$, il existe $x∈E$ tels que $x=αa$.
    Par composition de $f$ on a : 
    $f(x)=f(αa)=αf(a)$. 
    D'où $f(Vect\{a\})=Vect\{f(a)\}$."
    Pourquoi supposes-tu que $Vect\{a\}=E$? Tu rajoutes une hypothèse qui n'est pas présente dans mon énoncé. Une hypothèse beaucoup trop forte et pas utile.
    Ton "il existe" est à revoir, il n'est pas à sa place, là tu confonds les quantificateurs.
    En fait, ce qu'il faut faire est raisonner par double inclusion ici. Tu considères un élément quelconque de $Vect\{a\}$ et tu essaies de montrer qu'il est dans $Vect\{f(a)\}$ et ensuite, tu réalises la même démarche pour l'autre inclusion.
    Il y a des idées dans ton raisonnement mais c'est trop confus et pas bien maîtrisé. Je t'invite donc à refaire cette question en suivant la méthode que je viens de donner dans ce post. N'hésite pas à me faire signe si tu as des questions ! ;)
  • Amadou
    Modifié (24 Feb)
    Merci beaucoup pour vos commentaires, @Heuristique. Je l'ai bien compris. 
    @NicoLeProf , j'ai l'impression d'assister à un cours. J'ai hâte de vous lire à nouveau.
    Pour les deux dernières questions, je n'ai pas beaucoup de connaissances, alors j'ai immédiatement pensé à la définition d'une famille génératrice.
    D'accord. Vous dites de considérer un élément quelques de $\text{Vect}\{a\}$.Soit $x \in \text{Vect}\{a\}$.
    On a $f(x)\subset f(\text{Vect}\{a\})$ (Car $f$ est une application linéaire). Donc $x\in f(\text{Vect}\{a\})$
    Soit $x\in f(\text{Vect}\{a\})$.
    ............................
    Est-ce que je peux supposer que l'application $f$ est surjective et essayer de tirer une conclusion en utilisant la question précédente ?
  • JLapin
    Modifié (24 Feb)
    Tu manques très clairement d'aisance sur les notions d'images directes et réciproques et sur les fonctions en général. Tu devrais reprendre des exercices plus simples avant de faire de l'algèbre linéaire.
    http://christophebertault.fr/documents/coursetexercices/Exercices - Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste.pdf
    http://christophebertault.fr/documents/coursetexercices/Exercices - Injections, surjections, bijections.pdf
  • @JLapin d'accord, je comprends. Il se peut que je ne comprenne pas bien la notion d'image réciproque, par contre je suis à l'aise avec la notion d'images directe. Merci pour les liens. Je vais donc faire un retour pour réviser et combler mes lacunes immédiatement. Je reviendrai vers vous @NicoLeProf @JLapin si j'ai des difficultés.
  • Amadou
    Modifié (24 Feb)
    Je suis prêt à être patient dans mon apprentissage, peu importe le temps que cela prendra. Mon objectif principal est de me construire des bases solides pour faire face aux défis du futur, notamment ceux liés aux problèmes du millénaire. Je suis déterminé à travailler dur et je sais que j'y arriverai. J'ai également réussi à réintégrer une université. 
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