Une union d'intervalles bien singulière

bisam
Modifié (21 Feb) dans Analyse
Bonjour,

Cherchant toujours de quoi satisfaire mes ouailles, je pars souvent en quête de "nouveaux" énoncés d'exercices, notamment dans la RMS.
J'y ai trouvé un exercice qui demande de trouver une famille $(I_a)_{a\in A}$ d'intervalles disjoints de longueur non nulle tels que $\displaystyle \Q \subset \bigcup_{a\in A} I_a$ et la somme des longueurs des intervalles est égale à $42$ (ce dont j'ai déduit que l'auteur devait être fan de H2G2).

L'idée de base est assez simple : 
  1. partir d'une famille sommable de réels strictement positifs $(u_n)_{n\in\N}$ dont la somme est égale à $21$ et qui vont servir de demi-longueurs à nos intervalles;
  2. choisir également une énumération $(q_n)_{n\in\N} des rationnels;
  3. choisir les intervalles de largeur $u_n$ centrés en les rationnels que l'on n'a pas encore recouverts...
On peut rendre ce dernier point parfaitement déterminé en définissant par récurrence une fonction $\Phi$ de $\N$ dans lui-même et une suite d'intervalles $(I_n)_{n\in\N}$. On définit pour tout entier $n\in\N$ l'ensemble \[A_n=\left\{k\in\N, \left]q_k-u_n, q_k+u_n\right[ \cap \bigcup_{j=0}^{n-1}I_j =\emptyset \right\}\] puis $\Phi(n)= \min(A_n)$ et $I_n=\left]q_{\Phi(n)}-u_n, q_{\Phi(n)}+u_n\right[$.

Il est facile de vérifier que :
  1. Pour tout $n\in\N$, l'ensemble $A_n$ est non vide car la réunion des intervalles $I_0, \dots, I_{n-1}$ est bornée alors que $\Q$ ne l'est pas. Cela justifie la construction.
  2. La fonction $\Phi$ est injective car chaque nouvelle valeur $\Phi(n)$ est distincte de toutes les précédentes car aucune des valeurs $\Phi(0), \dots, \Phi(n-1)$ n'est dans l'ensemble $A_n$.
  3. La somme des longueurs de tous les intervalles $(I_n)_{n\in\N}$ est égale à $2\sum_{n\in\N}u_n=42$.
Il reste à vérifier que $\displaystyle \Q \subset \bigcup_{n\in\N}I_n$... et c'est là que le bât blesse.

Notons $U=\bigcup_{n\in\N}I_n$.
Si on suppose que l'on dispose d'un rationnel $q$ tel que $q \notin U$, notons $d$ la distance de $q$ à $U$ et $k$ l'entier tel que $q=q_k$.
Si on suppose de plus que $d>0$ alors puisque la suite $(u_n)_{n\in\N}$ tend vers $0$, il existe un rang $n_0$ à partir duquel $u_n<d$ et par conséquent, pour tout entier $n\geq n_0$, $k\in A_n$ donc $k\geq \Phi(n)$.
Puisque $\Phi$ est injective, $k$ majorerait une partie infinie de $\N$, ce qui est absurde.
On en déduit que $d=0$, autrement dit que $q$ est dans l'adhérence de $U$.

À ce point, on se rend compte que si l'on veut éviter les problèmes, il faut rajouter une contrainte : les $u_n$ doivent être irrationnels, sinon on pourrait oublier un rationnel coincé pile à la frontière entre deux intervalles. On supposera désormais que c'est le cas.

Si on arrive alors à prouver que l'adhérence de $U$ est réduite à $\displaystyle \bigcup_{n\in\N} \bar{I_n}$, on a gagné... mais c'est ce dernier point qui me bloque.

Ma question est la suivante : pouvez-vous conclure ? Et si vous ne le pouvez pas, pensez-vous que la démarche soit bonne ? En voyez-vous une autre ?

Pour mémoire, cet exercice a été proposé à Polytechnique à des élèves de PC qui ne sont pas spécialement férus de topologie...

Réponses

  • Guego
    Modifié (21 Feb)
    bisam a dit :
    'y ai trouvé un exercice qui demande de trouver une famille $(I_a)_{a\in A}$ d'intervalles disjoints tels que $\displaystyle \Q \subset \bigcup_{a\in A} I_a$ et la somme des longueurs des intervalles est égale à $42$ (ce dont j'ai déduit que l'auteur devait être fan de H2G2).
    Je dois rater une hypothèse : qu'est-ce qui empêche de prendre $I_0 = [-21;21]$, et les autres $I_n$ des singletons (intervalles de longueur nulle) pour recouvrir les rationnels qui ne sont pas dans $[-21;21]$ ?
  • gerard0
    Modifié (21 Feb)
    Bonjour.
    Bizarre, ton 3. Il suffit de prendre pour tout $n$ l'intervalle $I_n = ]q_n-u_n,q_n+u_n[$. Il y aura recouvrement de certains intervalles, mais la somme des longueurs des intervalles est égale à $42$. Et comme on a pris tous les rationnels comme centres d'intervalles, ils sont tous dans $\bigcup I_n$.
    Cordialement.
  • Ben314159
    Modifié (21 Feb)
    Salut
    Perso, je serais parti de n'importe quelle suite $(r_n)_n$ de réels $>0$ de somme $42$ (voire moins), puis j'aurais considéré l'ensemble $\displaystyle X\!=\!\bigcup_{n}\,]q_n\!-\!r_n,q_n\!+\!r_n[$, où $(q_n)_n$ est une énumération des rationnels et vu que la mesure de $X$ est forcément $<42$, j'aurais rajouté un intervalle $]0,\alpha[$ de façon à rendre la mesure exactement égale à 42 : c'est possible (pourquoi ?)
    Et l'ensemble obtenu est une solution au problème (c'est bien une réunion d'intervalles disjoints, à savoir ces composantes connexes, et, vu la construction, ces dernières sont forcément non réduites à des points).

    @gérard0 : certes en comptant comme tu le fais, la somme des longueurs des intervalles fait bien 42, mais tes intervalles ne sont pas disjoints contrairement à ce que demande l'énoncé.
  • gerard0
    Modifié (21 Feb)
    Effectivement, Ben, j'ai raté "disjoints". Mais toi aussi, tu n'imposes pas la disjonction.
    Je comprends pourquoi Bisam a monté une "usine à gaz".
    La solution de Guego est plus intéressante.
    Cordialement.
    NB. J'ai traité l'énoncé avec "ouverts" à la place de "disjoints".
  • Ben314159
    Modifié (20 Feb)
    Bien sûr que "mes" intervalles sont disjoints vu que ce sont les composantes connexes de $X\cup\,]0,\alpha[$ !
  • bisam
    Modifié (21 Feb)
    Comme l'a pointé @Guego, j'ai oublié que les intervalles devaient être de longueur non nulle (j'ai corrigé en gras, plus haut), et comme l'ont remarqué les autres, ils doivent être disjoints.
    Mais ce que propose @Ben314159 a le mérite d'être expéditif : il est effectivement bien plus simple de laisser les intervalles se chevaucher, puis de ne garder que les composantes connexes et rajouter la longueur qui manque à la fin...
    Mais maintenant, je me demande quand même si mon idée fonctionne...
  • @bisam: Quelle est la référence de cet exercice ?
    Merci d'avance !
  • nicolas.patrois
    Modifié (21 Feb)
    Quelque chose m’échappe.
    Je ne comprends pas comment une réunion dénombrables d’intervalles dont la longueur totale est égale à 42 peut recouvrir $\mathbb{Q}$.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Et pourtant, c'est bien ça (avec $\varepsilon$ à la place de 42) qui explique que la mesure de Lebesgue de $\Q$ est nulle, comme celle de toute partie dénombrable de $\R$.
  • Bonjour,

    Sans aller chercher des conditiions supplémentaires, si $\mathbb{Q}=\left(r_n\right)_{n \in \mathbb{N^*}}$, alors la famille des intervalles de centres $r_n$ et d'amplitude $\dfrac{1}{n^2}$ recouvrent $\mathbb{Q}$ et ont une longueur totale finie.

    Cordialement,
    Rescassol

  • gerard0
    Modifié (21 Feb)
    Désolé, Ben314159,
    je n'avais pas compris l'argument de connexité.
    Je n'avais jamais réalisé combien ça souligne l'étrangeté de cet ensemble $\mathbb R$. Le complémentaire de ton ensemble $X$ ne contient aucun rationnel, donc a des "trous" de partout, mais contient en fait "presque tous les réels".
    Cordialement.
  • OK, vu.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Rescassol
    Modifié (21 Feb)
    Bonjour
    Gérard, plus simplement, le complémentaire de $\mathbb{Q}$ aussi.
    cordialement,
    Rescassol
  • gerard0
    Modifié (21 Feb)
    Oui, mais $\mathbb Q$ est de mesure nulle. Je le visualise plus efficacement; là on a des intervalles "partout", c'est-à-dire autour de tous les rationnels, et dans ces intervalles, il y a d'autres rationnels, avec leur propre intervalle. Et pourtant "il en reste tant !".
    Cordialement.
  • @Bbidule : Comme je l'ai dit, c'était un oral donné à l'X à des PC l'an dernier. 
    On le trouve dans le dernier volume de la RMS (numéro 134-1), exercice numéro 461, p.75.
  • Bbidule
    Modifié (23 Feb)
    @bisam : merci pour ta référence (javais bien noté RMS, mais pas ce que tu précises dans ton dernier message).
    A noter que dans l'énoncé que j'ai sous les yeux, rien n'est précisé concernant l'ensemble $A$ qui indexe les intervalles.
  • Domi
    Modifié (22 Feb)
    Je me permets un petit aparté pour dire que je suis plutôt impressionné par l'esprit de synthèse de Ben qui dit l'essentiel en évacuant les parasites ce qui n'est pas toujours facile.
    Domi.
  • Je trouve cet exercice vraiment curieux, surtout pour une filière PC... Ca ne me semble absolument pas adapté.
  • Je pense que c'est un 2ème exercice donné à un candidat qui a déjà maîtrisé le premier... pour voir jusqu'où on peut repousser ses limites.
    Un tel exercice donné au tout venant (enfin, ceux qui sont déjà admissibles à Ulm, ce qui limite pas mal !) ne classerait pas suffisamment pour être intéressant.
  • Renart
    Modifié (25 Feb)
    Je crois que ta stratégie ne peut pas marcher Bisam. Dans le sens où si tu me donnes une suite décroissante $(u_n)_n$ j'ai l'impression que je peux trouver une énumération des rationnels $(q_n)_n$ pour laquelle $\bigcup I_n $ ne contient pas $0$. Je n'ai pas réussi à formaliser ça très proprement donc ça pourrait très bien être faux...

    Voilà l'idée générale. On prend $(r_n)_n$ une énumération quelconque des rationnels, on lui enlève $0$ qu'on prendra pour $q_1$. On va ensuite choisir $q_{n_0}$ où $n_0=0$ strictement négatif de sorte à ce que les (au moins) $10$ prochains intervalles placés ne puissent être centrés en $0$. On choisit alors de prendre pour $q_2, q_3 , \ldots$ les $r_n$ dans l'ordre à l'exception d'un sous-ensemble $B_1$ des $r_k$ inclus dans un certain intervalle $[-d_1;d_1]$ qui nous empêcherait de jouer les prochains coups comme voulu. Disons $d_1 = 10 u_0$. On note $n_1$ le dernier entier tel que $I_{n_1}$ ne puisse être centré en $0$, on va alors choisir le $q_{m_1}$ correspondant strictement positif de sorte à ce que $I_{n_1}$ soit centré en $q_{m_1}$, que les (au moins) $100$ prochains intervalles placés ne puissent être centrés en $0$ et de sorte à ce que $d(0,I_0)>10 d(0, I_{n_1})$. Pour $q_{m_1+1}, q_{m_1+2}, \ldots$ on prend alors les $r_k$ encore non placés dans la suite $(q_n)_n$ dans l'ordre d'apparition à l'exception d'un sous ensemble $B_2$ des $r_k$ inclus dans un certain intervalle $[-d_2;d_2]$ qui nous empêcheraient de jouer les coups suivants comme voulu. Ici on pourra prendre $d_2 = d(0, \bigcup_{n=0}^{n_1} I_n)$.  On note $n_2$ le dernier entier tel que $I_{n_2}$ ne puisse être centré en $0$, on choisira alors le $q_{m_2}$ correspondant strictement négatif de sorte à ce que $I_{n_2}$ soit centré en $q_{m_2}$ et que les (au moins) $1000$ prochains intervalles ne puissent être centrés en $0$, on impose de plus que $d(0,I_{n_1})>10 d(0,I_{n_2})$.  Pour $q_{m_2+1}, q_{m_2+2}, \ldots$ on prend alors les $r_k$  encore non placés dans l'ordre  d'apparition à l'exception d'un sous ensemble $B_3$ des $r_k$ inclus dans $[-d_3;d_3]$ où $d_3 = d(0,\bigcup_{n=0}^{n_2}I_n)$. On continue ainsi de suite.

    Par construction aucun des $I_n$ ne peut contenir $0$. Par ailleurs puisque $d_n$ décroit au moins géométriquement aucun rationnel autre que $0$ n'est dans $\bigcap_{n\geq 0} [-d_n;d_n]$. On en déduit donc qu'aucun $r_k$ ne sera exclu indéfiniment de ce processus et qu'ils finiront tous par être l'un des $q_n$. On devrait donc obtenir une énumération $(q_n)_n$ pour laquelle $0\notin \bigcup_{n\ge 0} I_n$.
  • bisam
    Modifié (25 Feb)
    Je ne comprends pas vraiment ce que tu veux dire par "à l'exception d'un sous-ensemble $B_1$ [...] qui nous empêcherait de jouer les prochains coups comme voulu".
    Je comprends néanmoins l'idée générale : choisir une énumération au pif laisse trop de possibilités pour garantir que ma méthode fonctionne.
  • Je vais essayer d'expliquer. Comme on a $q_1=0$ l'algorithme de ton premier message va essayer de placer $I_n$ centré en $0$ à chaque fois, il faut donc s'assurer qu'on ait des intervalles assez proches de $0$ pour empêcher que cela arrive. C'est le rôle de mes $q_{m_k}$ qui vont placer un intervalle $I_{n_k}$ assez proche de $0$ pour que l'on n'ait pas un intervalle centré en $0$ pendant au moins un certain nombre de coups. Mais pour que ces $I_{n_k}$ jouent leur rôle il faut s'assurer qu'ils puissent être placés précisément au moment prévu. Il faut donc éviter qu'il n'y ait un autre intervalle déjà placé qui intersecterait $]q_{m_k}-u_{n_k}; q_{m_k}+u_{n_k}[$. Pour cela on évite de choisir les $q_n$ en suivant trop bêtement l'énumération $(r_n)_n$. On suit donc l'énumération $(r_n)_n$ mais en excluant tous les $r_n$ trop proches de $0$ qui produiraient un intervalle intersectant un $]q_{m_k}-u_{n_k}; q_{m_k}+u_{n_k}[$ pas encore placé par ton algorithme.  Avec mon choix de $(q_n)_n$ et une fois $I_{n_0} $ et $I_{n_1}$ placés, les intervalles les plus proches de $0$ devraient toujours être des $I_{n_k}$ et pas autre chose. Pour cela on évite donc de prendre pour $q_n$ les $r_j$ qui tombent entre les deux derniers $I_{n_k}$ placés. Les $r_j$ qui ne sont pas entre les deux derniers $I_{n_k}$ placés ne peuvent plus nous gêner et peuvent à nouveau faire parti des éléments potentiels pour continuer notre énumération $(q_n)_n$.

    À chaque étape on exclut donc une infinité de $r_k$ trop proches de $0$ pour compléter notre énumération $(q_n)_n$. Mais cette infinité est décroissante pour l'inclusion et son intersection s'avère être l'ensemble vide, ce qui assure que tous les $r_k$ seront à un moment ou un autre placés dans la suite $q_n$.

    En espérant que ce soit plus claire... sinon j'essayerai de faire un dessin. Je ne sais pas si, à l'inverse, pour toute suite $(u_n)_n$ donnée il existe une énumération $(q_n)_n$ qui vérifiera $\Q \subset\bigcup I_n$.

  • Il n’y a pas moyen de fabriquer une fonction du type de l’escalier du diable avec cette méthode ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
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