Exercice loi de Poisson

Lee sin

Bonjour, 
Je bloque sur la question 3 de l'exercice ci-joint. Je pense en fait que la question est fausse (déjà il faut avoir $S=X_1+\ldots+X_n$ pour Q2) mais je n'ai pas vraiment d'inspiration pour construire un contre-exemple. Si la question est fausse comment faudrait-il la corriger ? Si c'est juste la réciproque de la question 2 alors un calcul direct permet de retrouver la loi de $N$ à partir de la la loi conjointe de $S$ et $T$.

Ben314159

Salut,
Modulo ta remarque concernant le $X_0+\dots+X_n$ qui doit évidement être un $X_1+\dots+X_n$ pour que $T$ ne prenne que des valeurs positives, le reste de l'énoncé me semble correct : 
Si on note $q\!=\!1\!-\!p$ et $\pi_n\!:=\!{\mathbf P}(N\!=\!n)$ alors $\ \displaystyle{\mathbf P}\big(S\!=\!i\mbox{ et }T\!=\!j\big)=\pi_{i+j}{i+j\choose i}p^iq^j\ $
Donc $\displaystyle\ {\mathbf P}\big(S\!=\!i\big)=\dfrac{p^i}{i!}\sum_{j\geq 0}\pi_{i+j}\dfrac{(i\!+\!j)!}{j!}q^j=:\dfrac{p^i}{i!} a_i\ $ et $\displaystyle\ {\mathbf P}\big(T\!=\!j\big)=\dfrac{q^j}{j!}\sum_{i\geq 0}\pi_{i+j}\dfrac{(i\!+\!j)!}{i!}p^i=:\dfrac{q^j}{j!}b_j$.
L'indépendance de $S$ et $T$ s'exprime alors sous la forme $\ (i\!+\!j)!\,\pi_{i+j}=a_ib_j\ $ qui implique en particulier que $\  a_ib_1=(i\!+\!1)!\,\pi_{i+1}=a_{i+1}b_0\ $ donc le rapport $\ \dfrac{a_{i+1}}{a_i}=\dfrac{b_1}{b_0}\ $ reste constant.

Lee sin

Merci !