Couple de variables aléatoires et matrices

OShine

Bonsoir
Un exercice d'oral de CCINP 2023.
Je bloque à la question 4. Je ne comprends pas l'intérêt d'introduire la variable aléatoire $Z$.
1) On sait que $\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} \displaystyle\sum_{j=1}^{n+1} P(X=j, Y=i)=1$.
Un calcul rapide donne $\lambda=2^{-2n}$
2) On a : 
$\forall j \in [|1,n+1|] \ P(X=j)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} P(X=j,Y=i)=2^{-n} \binom{n}{j-1}$
$\forall i \in [|1,n+1|] \ P(Y=i)=\displaystyle\sum_{j=1}^{n+1} P(X=j,Y=i)=2^{-n} \binom{n}{i-1}$
3) Elles sont indépendantes, c'est immédiat.
4) $\forall k \in [|0,n-1|] \ P(Z=k)=2^{-n} \binom{n}{k}$.

JLapin

 Je ne comprends pas l'intérêt d'introduire la variable aléatoire Z

Faire apparaître une loi du cours pour ensuite utiliser le cours.

OShine

Ok merci.

4) $Z \sim \mathcal B(n, \dfrac{1}{2} )$ donc $E(Z)=\dfrac{n}{2}$ et $V(Z)=\dfrac{n}{4}$.
Ainsi, $\boxed{E(X)=\dfrac{n}{2}+1 \ \ \text{et} \ \ V(X)=\dfrac{n}{4}}$.

La question 5 me semble étrange.
Les variables $X$ et $Y$ étant indépendantes, la matrice est de rang $1$.
5) $\boxed{\forall i,j \in [|1,n+1|] \ P(Y=i | X=j)= 2^{-n} \displaystyle\binom{n}{i-1}}$
Donc $B=(C_1, \cdots, C_{n+1} )$ où $[C_j]_i = 2^{-n} \displaystyle\binom{n}{i-1}$
Je ne vois rien d'évident dans le calcule de $B^p$, à moins que j'ai une erreur.

LeVioloniste

Bonjour @OShine ,

Q2

Comme ici les lecteurs et relecteurs du site sont pointilleux; il faut quand même évoquer la formule des probabilités totales où les $(Y_i)_{1 \leq i \leq n+1}$ forment un système complet d'événements. Ils forment une partition de $\Omega=[[1;n+1]]$. Après ok avec ce que tu dis.

On peut évoquer $X$ et $Y$ comme lois marginales.

Q3

Il faut dire qu'on vérifie $\mathbb{P}([X=j,Y=i])=\frac{1}{2^{2n}}.\binom{n}{i-1}.\binom{n}{j-1}=\frac{1}{2^{n}}.\binom{n}{i-1}.\frac{1}{2^{n}}.\binom{n}{j-1}=\mathbb{P}([X=j]).\mathbb{P}([Y=i])$.

LeVioloniste

Q5

Je ne comprends pas l'énoncé vu qu'on a établi l'indépendance entre $X$ et $Y$ : $\mathbb{P}([Y=i,X=j])=\mathbb{P}([Y=i])$.

Donc du coup la matrice $B$ est telle que les coefficients sont indépendants de $j$.

Ainsi la matrice $B$ s'écrit

$ \frac{1}{2^n}.\begin{pmatrix} \binom{n}{0} & \cdots & \binom{n}{0} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \binom{n}{n} & \cdots & \binom{n}{n}\end{pmatrix}$

Toutes les lignes ont les mêmes coefficients donc la matrice est de rang 1.

Alors $B= \frac{1}{2^n}.U.C$ où $U=(1,\cdots,1)^t$ et $C=(\binom{n}{0} ; \cdots ; \binom{n}{n})$

Et tu retombes dans les classiques des matrices de rang 1 : $M^2=tr(M).M$

Tu connais bien cela on a fait cela en algèbre plusieurs fois.

Donc ici $B^2= \frac{1}{2^n}.U.C.\frac{1}{2^n}.U.C = \frac{1}{2^n}. \frac{1}{2^n}.(\sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1}).U.C=\frac{1}{2^n}.2^n.B$

Je suis allé vite mais à priori $B^p=B$ si je n'ai pas faux dans les facteurs.

A bientôt mon ami.

OShine

@LeVioloniste
Merci. Je trouve pareil que toi.
Pas simple cette question 5. 
Voici ce que j'ai trouvé.

OShine

6) $rg(B)=1$ donc $\dim \ker(B)=n-1$ et $0$ est valeur propre de multiplicité $n-1$.
$E_{0} (B)$ est l'hyperplan vectoriel d'équation $x_1+ \cdots +x_n +x_{n+1}=0$.
$Tr(B)=1$ donc $1$ est aussi valeur propre.
$\dim E_{1} (B)=1$ donc $B$ est diagonalisable.
Par contre, je ne trouve pas $E_{1} (B)$, les calculs semblent compliqués.
Comment faire ? 

Guego

OShine a dit :

Par contre, je ne trouve pas $E_{1} (B)$, les calculs semblent compliqués.
Comment faire ? 

Avec tes notations du post précédent, on a $B = WV^T$, où $W = \dfrac{1}{2^n}U$. Que vaut $BW$ ?

LeVioloniste

@OShine

Je pense qu'on est d'accord pour Q5.

Q6 De tête est-ce que $(1,0,0,\cdots,0,0,-1)^t$ n'est-il pas acceptable ?

OShine

@LeVioloniste
Non ça ne marche pas ça donne $BX=0$, on veut $BX=X$.

@Guego
Merci ! 
$BW=W( V^T \dfrac{1}{2^n} U)$. Mais $V^T U = 2^n$ d'après ce qui précède, c'est la trace de $B'$.
Finalement : $BW=W$.
Donc $\boxed{E_{1} (B)= Vect( W)}$. 

Très bel exercice, qui mélange probabilités et algèbre.

OShine

J'ai pris en compte les remarques, voici ma rédaction finale de l'exercice.

gebrane

Oshine, Ton écriture manuscrite est très lisible, je te conseille de rédiger à la main au lieu de fatiguer tes yeux avec Latex dans tes fils qui suivront 

LeVioloniste

Magnifique