Exercice oral

bestM

Bonjour,
je n'arrive pas à mettre en place la résolution de l'exercice suivant

On allume une ampoule. On note $X$ le temps de vie de cette ampoule (en jours). On suppose que pour tout $n \in \mathbb{N}^*, \ \mathbb{P}(X=n)=\frac{1}{2^n}$.
Soit $n \in  \mathbb{N}^*$. Sachant que l'ampoule est allumée le jour $n$, calculer le nombre moyen de jours où cette ampoule restera allumée.

Quelqu'un peut-il m'aider ?
D'avance merci,
bestM.

Heuristique

Bonjour,

Soit $A$ l'événement "L'ampoule est allumée au $n$-ième jour". Peux-tu traduire $A$ dans le langage mathématique ?

Commence par calculer $P(A)$ et $P(X = n+ 1 \mid A)$, puis $P(X = n+k \mid A)$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$.

JLapin

@bestM

On te demande en fait de calculer $\sum_{k=1}^{+\infty} k P(X=k\mid A)$.

bestM

On est bien d'accord :
$P(X=n+1\mid A) = \dfrac{P(X=n+1 \cap A)}{P(A)} =\dfrac{P(X=n+1)}{P(A)} = \dfrac12$

gerard0

Pourquoi 1/2 ?

Remarque sans rapport avec le traitement du sujet :  Des ampoules de demi-vie 1 jour, je n'achète pas, je me fais même rembourser par le vendeur ! Encore un  habillage "concret" proposé par un incompétent. D'ailleurs, la durée de vie des ampoules ne suit jamais une loi géométrique.
Cordialement.

john_john

Plus généralement, $P(X=n+k\mid A) = \dfrac{P((X=n+k)\cap A)}{P(A)} =\dfrac{P(X=n+k)}{P(A)} = \dfrac1{2^k}$ : c'est ce que l'on appelle une loi sans mémoire.

bestM

Finalement en calculant l'espérance citée par JLlapin trouve un nombre moyen égal à 2. Est-bien cela ?
J'avoue ne pas être trop à l'aide en probabilité...

JLapin

Tu n'as pas trouvé $n+2$ plutôt ?

bestM

En fait je dois calculer  $\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{n+k}{2^k} $ car on a vu que :
$\forall k \in N^*\::\: 𝑃(𝑋=𝑛+𝑘∣𝐴)=\dfrac{𝑃((𝑋=𝑛+𝑘)∩𝐴)}{𝑃(𝐴)}=\dfrac{𝑃(𝑋=𝑛+𝑘)}{𝑃(𝐴)}=\dfrac{1}{2^𝑘}$

Après calcul
$\sum{k=1}{+\infty} \dfrac{n+k}{2^k} =\dfrac{n}{1-1/2} \times\dfrac12+\dfrac12 \times \dfrac1{(1-1/2)^2} = 2n+2$. Oui finalement je trouve $n+2$.

Encore une question : pourquoi la somme ne part pas de $k=0$ ?
Merci JL Lapin.

JLapin

Si tu suivais ma proposition de reformulation de l'énoncé, tu aurais peut-être une chance de comprendre que tu n'as pas obtenu la réponse à ta question par un coup de chance...

bestM

Si j'ai bien compris
$P(A) = P(X\ge n+1) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac1{2^k} = \dfrac1{2^{n+1}} \times \dfrac{1}{1-1/2} = \dfrac1{2^{n}}$

Ensuite si je calcule $P(X=n+1|A)$ , c'est la probabilité que l'ampoule s'éteigne le jour n+1 sachant qu'elle est allumée le jour n. On a donc bien : $X=n+1 \subset A$ et 
$ P(X=n+1|A) = \dfrac{P(X=n+1)}{A} = \dfrac 12$
puis:
$ P(X=n+k|A) = \dfrac{P(X=n+k)}{A} = \dfrac 1{2^k}$
Es-tu d'accord avec cet analyse JL Lapin?

JLapin

Es-tu d'accord avec cet analyse JL Lapin?

Je n'ai pas lu : je vois juste que tu ignores simplement mon message initial pour faire à la place des calculs que tu ne sais manifestement pas vraiment relier de façon fiable à la question posée.

bestM

JLapin je ne comprends pas car j'ai justement essayé de tenir compte de ce message.
Pour moi, si l'ampoule est allumée le jour $n$, c'est qu'elle ne s'est pas éteinte avant le jour $n$ et donc  elle doit avoir une fin de vie après le jour $n+1$. C'est pour cela que j'ai traduit l'événement $A$ par $X \ge n+1$. Pour moi $X$ donne le jour de fin de vie de l'ampoule.
Sinon effectivement, je ne comprends pas l'énoncé, mais ce n'est pas de la mauvaise volonté.

JLapin

Sinon effectivement, je ne comprends pas l'énoncé, mais ce n'est pas de la mauvaise volonté.

Ok, tu n'as pas dû voir mon premier message dans ce fil, donc, je répète :

On te demande en fait de calculer $\sum_{k=1}^{+\infty} k P(X=k|A)$.

À part ça, la plupart de tes calculs me paraissent censés.

bestM

OK merci.
bestM