Polynômes de Tchebychev

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Réponses

  • De quels polynômes parles-tu ?
  • Ben314159
    Modifié (23 Feb)
    Pas tout à fait : les applications $\ z\mapsto T_n\big(\frac{1} {2} (z+ 1/z)\big)\ $ et $\ z\mapsto \frac{1} {2} \big(z^n + (1/z)^n\big)\ $ sont-elles polynomiales ?
  • Non effectivement, ce n'est pas polynomial. Comment montrer l'égalité pour des $z$ de module autre que 1?
  • JLapin
    Modifié (23 Feb)
    on a bien deux polynômes qui coïncident pour une partie infinie de C donc ils sont égaux sur C ?
    Et quels sont ces deux polynômes ?

  • Donc, il y a 2 polynômes ? Peut être qu'il faut distinguer $z$ et $1/z$?
  • Multiplie tout par $z^n$ pour faire apparaitre des polynômes en $z$.
  • lionel21
    Modifié (23 Feb)

    Bonsoir à tous.
    Tchebychev n'est pas comme Claude François car il est bien aimé Tchebychev.
    Lionel.

  • math65
    Modifié (24 Feb)
    @lionel21 intéressant

    @JLapin    
    Puisque $z^n T_n(1/2(z +1/z))=z^n 1/2(z^n + 1/z^n)$
    pour un nombre infini de $z$, alors
     $z^n T_n(1/2(z +1/z))=z^n 1/2(z^n + 1/z^n)$
    pour tout complexe non nul $z$.
    Et  $T_n(1/2(z +1/z))=1/2(z^n + 1/z^n)$
    pour tout complexe non nul $z$.

    Comment garantir que $z^n T_n(1/2(z +1/z))$ est bien un polynôme ?
  • Développe un peu. Et n’oublie pas de considérer aussi le membre de droite…
  • Pour le membre de droite, c'est rapide. Pour le membre de gauche en travaillant avec chaque terme, on y arrive.
  • Légèrement hors-sujet, je saisis l'occasion pour rappeler la question de la difficile transcription du patronyme de Tchebychev en français. Ces transcriptions sont nombreuses, et Robert Ferréol s'était livré à un savoureux calcul combinatoire de ce nombre, qui aboutissait à un résultat considérable. Il y a quelque temps, @Noix_de_totos a signalé sur ce forum une référence à un article, de Maurice d'Ocagne si ma mémoire est bonne, qui donnait l'opinion de Tchebychev soi-même à ce sujet. J'ai égaré cette référence et j'aimerais la récupérer. Merci d'avance.
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