Polynômes de Tchebychev

bisam

De quels polynômes parles-tu ?

Ben314159

Pas tout à fait : les applications $\ z\mapsto T_n\big(\frac{1} {2} (z+ 1/z)\big)\ $ et $\ z\mapsto \frac{1} {2} \big(z^n + (1/z)^n\big)\ $ sont-elles polynomiales ?

math65

Non effectivement, ce n'est pas polynomial. Comment montrer l'égalité pour des $z$ de module autre que 1?

JLapin

on a bien deux polynômes qui coïncident pour une partie infinie de C donc ils sont égaux sur C ?

Et quels sont ces deux polynômes ?

math65

Donc, il y a 2 polynômes ? Peut être qu'il faut distinguer $z$ et $1/z$?

JLapin

Multiplie tout par $z^n$ pour faire apparaitre des polynômes en $z$.

lionel21

Bonsoir à tous.
Tchebychev n'est pas comme Claude François car il est bien aimé Tchebychev.
Lionel.

math65

@lionel21 intéressant

@JLapin    
Puisque $z^n T_n(1/2(z +1/z))=z^n 1/2(z^n + 1/z^n)$
pour un nombre infini de $z$, alors
 $z^n T_n(1/2(z +1/z))=z^n 1/2(z^n + 1/z^n)$
pour tout complexe non nul $z$.
Et  $T_n(1/2(z +1/z))=1/2(z^n + 1/z^n)$
pour tout complexe non nul $z$.

Comment garantir que $z^n T_n(1/2(z +1/z))$ est bien un polynôme ?

JLapin

Développe un peu. Et n’oublie pas de considérer aussi le membre de droite…

math65

Pour le membre de droite, c'est rapide. Pour le membre de gauche en travaillant avec chaque terme, on y arrive.

Chaurien

Légèrement hors-sujet, je saisis l'occasion pour rappeler la question de la difficile transcription du patronyme de Tchebychev en français. Ces transcriptions sont nombreuses, et Robert Ferréol s'était livré à un savoureux calcul combinatoire de ce nombre, qui aboutissait à un résultat considérable. Il y a quelque temps, @Noix_de_totos a signalé sur ce forum une référence à un article, de Maurice d'Ocagne si ma mémoire est bonne, qui donnait l'opinion de Tchebychev soi-même à ce sujet. J'ai égaré cette référence et j'aimerais la récupérer. Merci d'avance.