Polynômes de Tchebychev

math65
Modifié (15 Feb) dans Analyse
Bonjour
J'essaye de résoudre
Déjà pour montrer l'unicité, je suppose qu'il y a 2 polynômes et je prouve que les coefficients sont les mêmes.
Est-ce bien cela ? 
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Réponses

  • Pour l'unicité, tu peux montrer que les deux polynômes (ou plutôt les fonctions polynomiales associées) coïncident sur un ensemble infini.
  • Syntax_Error
    Modifié (15 Feb)
    Toute démonstration de l'égalité de 2 polynômes consiste à montrer que leurs coefficients sont égaux, puisqu'un polynôme ce n'est rien d'autre que la suite de ses coefficients.

    Et ici, pour montrer cette égalité, on peut par exemple montrer que la différence des 2 polynômes possède une infinité de racines.

    Ou bien, par ex pour les polynômes de Tchebychev de 1ere espèce, on montre que la condition $\forall \theta,\ T_n(cos(\theta) = cos(n\theta)$ impose que la suite $(T_n)$ vérifie une relation de récurrence linéaire d'ordre $2$, dans laquelle les polynômes $T_0$ et $T_1$ sont nécessairement égaux resp. à $0$ et $X$. L'unicité de  la suite $(T_n)$ s'ensuit.
  • Tout dépend de la façon dont tu prouves que les coefficients sont les mêmes. Un polynôme est caractérisé par ses dérivées successives en $0$ qui peuvent se calculer à partir de la relation qui définît implicitement les polynômes de  (cela demande à être justifié proprement), ce qui prouve l’unicité.

    La démonstration attendue est plus élémentaire : si $P$ et $Q$ vérifient la relation caractérisant les polynômes de Tchebychev de seconde espèce, donc $P(\cos(t)) = Q(\cos(t))$ lorsque $\sin(t)\neq 0$, donc $P-Q = 0$ sur $]-1, 1[$. $P-Q$ a une infinité de racines, donc $P-Q=0$.
  • JLapin
    Modifié (15 Feb)
    Ou bien, [...] on montre que la condition ∀θTn(cos(θ)=cos(nθ) impose que la suite (Tn) vérifie une relation de récurrence linéaire

    Pour démontrer ça, il faudra de toute façon utiliser le principe que tu mentionnes une ligne plus haut.

  • math65
    Modifié (15 Feb)
    Merci, je pense que je peux résoudre l'unicité.
    Par contre pour montrer que l'expression de $T_n$ pour la première espèce. Je pense montrer que $T_n(e^{i\theta})=e^{in\theta}$ puis de passer en partie réelle.
    J'ai commencé par $(e^{i\theta})^{n-2p}((e^{i\theta})^{2}-1)^p=e^{in\theta}(1-e^{-i2\theta})^p=e^{in\theta}\sum_{k=0}^p \binom{p}{k} (-e^{-2i\theta})^k$
    Est-ce un bon départ sachant que je vais devoir faire la somme sur tous les $p$ ?
  • SkyMtn
    Modifié (15 Feb)
    Ce n'est pas vrai que $T_n(e^{i\theta}) = e^{i n \theta}$ (du moins dès que $n\ge 2$), en revanche tu peux dire que $\cos n\theta$ est la partie réelle de $(\cos \theta + i \sin \theta)^n$ puis utiliser le binôme de Newton.
  • math65
    Modifié (15 Feb)
    En réalité, voici ce qu'il faut montrer : $T_n=X^n$ et une démonstration par récurrence fait l'affaire sauf erreur de ma part.
    Cela implique que $T_n(e^{i\theta})=(e^{i\theta})^n$
    puis en passant à la partie réelle, on trouve $T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta)$.
    Qu'en pensez-vous ?
  • etanche
    Modifié (15 Feb)
    @ math65 tu as les polynômes de Tchebychev $T_1,T_2,T_3,…$ https://fr.wikipedia.org/wiki/Polynôme_de_Tchebychev
    $T_n(X)$ n’est pas égal à $X^n$ pour $n>1$.
  • Syntax_Error : on a plutôt $T_0=1$. Cela dit, le principe que tu suggères est bien meilleur que celui de l'énoncé, particulièrement maladroit.

    En plus, la définition des $U_*$ qu'il donne est erronée : ce qu'il définit doit s'appeler $U_{n-1}$, ne serait-ce que pour des raisons de degré et de parité.
  • math65
    Modifié (15 Feb)
    Ok , j'ai fait des erreurs. Apparemment, il faut faire une démonstration par récurrence avec $T_{n+1}=2XT_n -T_{n-1}$.
  • math65
    Modifié (15 Feb)
    Je pense que la meilleure méthode est de démontrer que $T_n(\cos(\theta))$ est la partie réelle de $e^{in\theta}$ et donc égale à $\cos(n\theta)$ en utilisant que $e^{in\theta} = (\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n$ et en développant avec la formule du binôme de Newton.
  • Apparemment, il faut faire une démonstration par récurrence  : oui et non ! la récurrence montre facilement que $T_n$ et $U_n$ sont des polynômes, en donne degré, parité, terme dominant, etc. mais, si l'on veut établir les formules sommatoires de l'énoncé, il vaut mieux partir de ${\rm e}^{{\rm i}n\vartheta}$.
  • math65
    Modifié (15 Feb)
    Maintenant, je dois montrer que $\quad U_n=\dfrac{1}{n}T_n'$.
  • Ben314159
    Modifié (16 Feb)
    Salut
    Si tu dérives la relation définissant $T_n$, tu obtiens quoi ?
  • @Ben314159 j'obtiens quelque chose d'assez déroutant. Je ne vois pas.
  • Ben314159
    Modifié (16 Feb)
    Ben, . . . c'est que tu t'es trompé . . .
    Quand on dérive $T_n(\cos(\theta)=\cos(n\theta)$, ça donne $\ \ -\sin(\theta)\!\times\!T'_n(\cos(\theta)=-n\sin(n\theta)\ \ $ via le résultat classique $(f\!\circ\!g)'=g'\!\times\!f'\!\circ\!g$
    Et tu conclus en utilisant l'unicité du polynôme $U$ tel que . . .
  • math65
    Modifié (16 Feb)
    @Ben314159 je vois. Je ne voulais pas utiliser la relation avec $cos(\theta) $ car cela s'apparentait à uniquement montrer sur  $[-1;1]$ et non sur $\R$. Mais vu de cette manière avec l'unicité, c'est convainquant.
    Je dois maintenant faire

  • Ben314159
    Modifié (16 Feb)
    De nouveau, ce n'est pas très compliqué :
    Le fait que la suite $T_n$ vérifie bien le relation revient à montrer que $\ \ \cos\big((n\!+\!2)\theta\big)-2\cos(\theta)\cos\big((n\!+\!1)\theta\big)+\cos(n\theta)=0\ \ $ ce qui se fait facilement via les formules $\cos(a+b)=...$
    Et le fait qu'une telle suite est unique est évident vu que la relation de récurrence donne un terme en fonction des deux précédents et qu'on a les deux premiers.

    Et sinon, concernant le fait qu'en utilisant $X\!=\!\cos(\theta)$ dans un polynôme $P$, on ne voit ce qui se passe que sur $[-1,1]$, il y a un truc qu'il faut vraiment que tu enregistres "très fort", c'est que pour des polynômes, dés qu'ils sont égaux sur un ensemble infini (voire même juste sur un ensemble fini de cardinal > leur degré), alors ils sont forcément égaux.  Tu a déjà utilisé cette propriété pour montrer l'unicité de $T_n$ et $U_n$ et c'est un argument qui revient extrêmement souvent dans les problèmes concernant les polynômes.
  • math65
    Modifié (16 Feb)
    Pour cette question, je démontre par récurrence que $W_n(cos(\theta)) =cos (n\theta) $ avec $(W_n)$ la suite vérifiant l'énoncé. Puis puisque pour chaque $n$, il n'y a qu'un  unique polynôme qui est $T_n$ qui vérifie la relation, j'en déduis le résultat ?
  • JLapin
    Modifié (16 Feb)
    il y a un truc qu'il faut vraiment que tu enregistre "très fort", c'est que pour des polynômes, dés qu'ils sont égaux sur un ensemble infini (voire même juste sur un ensemble fini de cardinal > leur degré), alors ils sont forcément égaux.
  • @Ben314159 je n'avais pas vu ta réponse. la relation de récurrence donne l'unicité ? Est-ce suffisant ?
    J'utilise plutôt que $T_n$ est unique en vérifiant $T_n(\theta) =cos(n\theta) $?

    Questions suivantes :
    Pour le degré de $T_n$, je pense que c'est $n$, le coefficient de terme dominant c'est $2^{n-1}$ (démonstration par récurrence à partir de la question précédente).
  • JLapin
    Modifié (16 Feb)
    la relation de récurrence donne l'unicité ? Est-ce suffisant ?

    Oui.

  • @JLapin pour montrer que cette unique suite de polynôme est $(T_n) $, on doit tout de même montrer que $T_n(cos(\theta)) =cos(n\theta) $ pour tout $n \in N$?
  • Oui, quelque chose comme ça.
  • math65
    Modifié (16 Feb)
    Je pense que les questions 5) et 6) sont faisables pour moi.
    Pour la question 7), je raisonne aussi avec $T_n(cos(\theta)) =cos(n\theta) $ afin de démontrer que le polynôme défini par le membre de gauche a une infinité de racine et donc qu'il s'agit du polynôme nul ?
  • Oui, en dérivant deux fois la relation $T_n(\cos \theta)=\cos(n\theta)$ tu devrais y arriver.
  • math65
    Modifié (16 Feb)
    Ok et voilà ce que l'on demande ensuite :
    Est-ce que je dois prouver que cette expression est solution de l'équation différentielle ?
  • math65
    Modifié (16 Feb)
    Supposons que j'arrive à montrer que l'expression du 8) est solution de l'équation différentielle du 7), pourrais-je en conclure que c'est bien l'expression de $T_n$ sachant qu'une équation différentielle a plusieurs solutions ?
    Merci.
  • Il te restera à vérifier des conditions initiales adaptées au type d’équation différentielle rencontré.
  • math65
    Modifié (16 Feb)
    @JLapin on sait qu'une équation différentielle de second ordre possède une unique solution vérifiant les conditions initiales $T_n(1)=1$ et $T_n'(1)=nU_n(1)=n^{2}$
  • Vu que ton coefficient devant $y''$ est $1-x^2$ qui s'annule en $1$ (mais ne s'annule pas sur $]-1,1[$), tu devrais plutôt regarder ce qui se passe en $0$.
  • math65
    Modifié (18 Feb)
    @JLapin je ne vois pas en quoi cela pose un problème, il faut juste trouver des conditions sur $T_n$ et $T_n'$ que doit satisfaire l'expression du 8).
    Aussi, j'ai des difficultés à injecter l'expression de 8) dans l'équation différentielle et montrer l'égalité. Est-ce bien comme cela qu'il faut faire ?
  • Ben314159
    Modifié (17 Feb)
    Ce n'est pas comme cela qu'il faut faire, mais comme cela qu'on peut faire : il y a toujours des tas de preuve possibles pour un même résultat.
    Après, effectivement, vu la logique de l'exercice, il me semble que c'est la méthode la plus rapide (mais peut-être me fourvoie-je . . .).  C'est un peu long à écrire, mais rien de compliqué.

    Et sinon, concernant les "conditions initiales" de l'équation différentielles,
    - Vu l'expression polynomiale de la solution que tu as, ça semble bien plus simple de regarder ce qui se passe en $x_o\!=\!0$ plutôt que $x_o\!=\!1$.
    - Mais surtout, va revoir la théorie sur les équations différentielles linéaires : si tu te place au voisinage de $x_o\!=\!1$, le coeff. dominant $(1\!-\!X^2)$ de ton équa.diff. est nul et la théorie générale ne marche pas trop dans ce cas là . . .
  • Pour ma part j'oublierais complètement cette équa. diff. et je partirais avec Moivre et Newton.
  • Moi j'ai plutôt l'impression que l'équa diff permet d'obtenir une relation de récurrence sur les coefficients qu'il suffit de vérifier sur les coefficients proposés.
  • math65
    Modifié (18 Feb)
    J'ai vu effectivement qu'il ne faut pas que l'on prenne les conditions initiales où le coefficient de dérivée seconde s'annule.
    J'essaie de montrer que l'expression vérifie l'équation différentielle mais j'obtiens quelque chose de très difficile.
    Je vais essayer déjà de le faire pour $n=1$ et $n=2$ pour comprendre le fonctionnement.
  • Tu peux procéder dans l'autre sens : chercher les solutions polynomiales de l'équation. Tu obtiendras une relation de récurrence qu'il te suffira de vérifier.
  • math65
    Modifié (18 Feb)
    J'ai finalement réussi après de long calculs à montrer que l'expression proposée est bien solution.
    Peut-être qu'une manière plus simple est de montrer que la relation de récurrence trouvée plus haut vérifie l'équation différentielle pour prouver que $T_n$ est solution ?
    Ensuite j'ai trouvé
    $T_{2n}(0)=(-1)^n$
    $T_{2n+1}(0)=0$
    $T_{2n}'(0)=0$
    $T_{2n+1}'(0)=(2n+1)(-1)^n$.
    Si j'utilise l'autre méthode, devrais-je tout de même montrer les conditions initiales ?
  • math65
    Modifié (18 Feb)
    Finalement, prouver que l'expression de récurrence déterminée plus haut verifie l'équation différentielle ne prouverait rien. On pourrait juste utiliser la relation de récurrence sans passer par l'équation différentielle.
    Si on veut utiliser l'équation différentielle pour trouver une relation de récurrence entre les coefficients de $T_n$ puis trouver ses coefficients, j'ai vu que c'était possible mais compliqué.
    Je passe à la question suivante 9).
    On veut résoudre $T_n(x) =0$
    Si $x \in [-1;1]$, il existe $\theta  \in \R$ tel que $x= \cos(\theta) $. Ainsi, $T_n(\cos(\theta)) =0$ donc $\cos(n \theta) =0$
    Et $n \theta = \pi /2 + k\pi$ avec $k \in \Z$
    $\theta = \frac{ \pi /2 + k\pi}{n} = \frac{\pi} {2n} + \frac{k\pi} {n}$.
  • math65
    Modifié (18 Feb)
    Ainsi, $\cos(\frac{\pi} {2n} + \frac{k\pi} {n}) $ avec $k \in Z$ constitue l'ensemble des racines dans $[-1;1]$
    Or, il ne peut y avoir plus de $n$ solutions.
    Puisque cosinus est strictement décroissante sur $[0;\pi]$, les solutions
    $ \cos(\frac{\pi} {2n} + \frac{k\pi} {n}) $ avec $ 0 \leq \frac{\pi} {2n} + \frac{k\pi} {n}\leq \pi$ sont distinctes
    Soit $-1/2 \leq k \leq n - 1/2$
    Soit $0 \leq k \leq n - 1$
    Or, ces solutions sont au nombre de $n$.
    Donc $\cos(\frac{\pi} {2n} + \frac{k\pi} {n}) $ avec $k \in Z$ et $0 \leq k \leq n -1 $ constitue  l'ensemble des racines dans $[-1;1]$
    On en déduit la forme factorisée de $T_n$ grâce au coefficient de plus haut degré.
    Des remarques ?
  • math65
    Modifié (21 Feb)
    Voici les questions suivantes.


  • Chaurien
    Modifié (19 Feb)
    Les polynômes orthogonaux les plus usuels forment le jeu des cinq familles, dans l'ordre chronologique : Legendre ($P_n$), Tchebychev I et II ( $T_n$ et $U_n$), Hermite ($H_n$), Laguerre ($L_n$). D'une famille l'autre il peut exister des relations, par exemple : $U_{n}=\sum_{k=0}^{n}P_{k}P_{n-k}$.
  • math65
    Modifié (22 Feb)
    Merci pour les infos.
    Est ce que quelqu'un à une piste pour la question 13)? (j'ai réussi à faire les questions d'avant)
    Merci.
  • Vérifie la relation pour les complexes de la forme $e^{i\theta}$ et utilise le fait que deux polynômes qui coïncident sur une partie infinie sont égaux.
  • Ben314159
    Modifié (22 Feb)
    Si on prend, juste pour voir, $z\!=\!e^{i\theta}$ avec $\theta$ réel, ça donne quoi le truc que tu as à montrer ?
    Que peut-on dire de deux polynômes $P,Q\in{\mathbb C}[X]$ tels que $P(z)=Q(z)$ pour tout $z$ de module 1 ?
  • math65
    Modifié (23 Feb)
    Ok,
    Nous savons que $T_n(\cos(\theta)) = \cos(n \theta) $
    On sait aussi que $ \cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} {2}=\frac{1} {2} (e^{i\theta} + 1/e^{i\theta})$
    Donc
     $T_n(\frac{1} {2} (e^{i\theta} + 1/e^{i\theta})) =  \frac{1} {2} (e^{i n\theta} + 1/e^{i n \theta})
    =  \frac{1} {2} ((e^{i \theta})^n + (1/e^{i  \theta})^n)$
    En posant $z=e^{i \theta}$, on a
    $T_n(\frac{1} {2} (z+ 1/z))=  \frac{1} {2} (z^n + (1/z)^n)$
    Et donc d'après vous si cela est valable pour tout $z=e^{i \theta} $ alors c'est valable pour tout complexe ?
  • Ben314159
    Modifié (23 Feb)
    Oui.
  • JLapin
    Modifié (23 Feb)
    Et donc d'après vous si cela est valable pour tout z=eiθ alors c'est valable pour tout complexe ?

    Non, d'après moi, puisque c'est valable pour tout $z = e^{i\theta}$, alors c'est aussi valable pour tout complexe non nul via un petit raisonnement qu'il te reste à trouver.

  • math65
    Modifié (23 Feb)
    JLapin a dit :
    Vérifie la relation pour les complexes de la forme $e^{i\theta}$ et utilise le fait que deux polynômes qui coïncident sur une partie infinie sont égaux.
    D'après le raisonnement que j'ai fait, on a bien deux polynômes qui coïncident pour une partie infinie de $C$ donc ils sont égaux sur $C$ ?
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