Espérance d'une variable aléatoire

Tony Schwarzer

Bonjour,

Soit $(M_n)$ une martingale avec $M_n \in L^p$, $p>1$. Dans un cours, on a montré que $M_n^{*}=\operatorname{max}_{k \in [0,n]} M_k$ est $L^p$ et ensuite, lors d'un calcul, je lis l'égalité suivante :

$$(p-1)\int_{a>0} a^{p-2} \mathbb{E}(|M_n|\mathbb{1}_{M_n^{*} \geq a}) da = \mathbb{E}(|M_n| (M_n^{*})^{p-1})$$

J'ai du mal à montrer cela. Je sens bien que ça provient de la définition de l'espérance et d'une sorte d'IPP, mais je n'arrive pas à le montrer clairement... Comment faire ?

Merci.

Positif

Je le vois plutôt "dans l'autre sens".
\[ \mathbf{E} [ |M_n| ( M^*_n)^{p-1} = \mathbf{E} \left[ |M_n| (p-1) \int_0^{(M^*_n)^{p-1} } a^{p-2}  \mathrm{d} a \right] = \mathbf{E} \left[ |M_n| (p-1) \int_0^{ +\infty } a^{p-2} \mathbf{I}_{ \{ M^*_n \geq a \} } \mathrm{d} a \right] \]
Et on fait sortir $\int$ de $\mathbf{E}$.

rebellin

Bonjour
Il suffit d'utiliser le théorème de Fubini : $\int(\mathbb{E}(\cdots))=\mathbb{E}(\int\cdots).$ Aucun risque, car toutes les expression en jeu sont positives.

Tony Schwarzer

En effet, merci.