Fonction qui s'annule sur le bord dans $C^{k}_{c}(\Omega)$ et $C^{k}_{c}(\bar{\Omega})$

APf
APf
Modifié (13 Feb) dans Analyse
Bonsoir, je lis sur les fonctions à support compact, mais j'ai quelques doutes sur certaines choses. Pour placer le contexte dans l'espace de $\mathbb{R}^{N}$, je considère l'ouvert $\Omega$. Je comprends qu'une fonction de $C_{c}^{\infty}(\Omega)$, l'espace des fonctions test, a la propriété d'être "nulle dans un voisinage du bord" de sorte que si $u\in C_{c}^{\infty}(\Omega)$, alors il existe un compact $K_u$ de $\mathbb{R}^{N}$ tel que $u(x)=0$ pour tout $x\in \Omega\setminus K_{u}$. Cela me conduit à me poser la question suivante :
  • a) Cela implique-t-il que $u=0$ sur $\partial \Omega$ et que toutes ses dérivées partielles sont également nulles sur $\partial \Omega$ ?
Je suis intéressé par le cas où maintenant $\Omega$ est un ouvert borné de $\mathbb{R}^{N}$, qui semble être le cas le plus simple. Je considère maintenant la définition que $C^{\infty}_{c}(\bar{\Omega})$ est l'espace des fonctions de classe $C^{\infty}(\bar{\Omega})$ à support compact sur $\bar{\Omega}$. Alors, je me pose la même question :
  • b) Cela implique-t-il que si $u\in C{c}^{\infty}(\bar{\Omega})$, alors $u$ est tel que $u=0$ sur $\partial \Omega$ (ou $u=0$ sur $\partial \bar{\Omega}$ ?) et que toutes ses dérivées partielles sont également nulles sur $\partial \Omega$ ? 
J'ai ce doute parce que dans certaines notes, je trouve spécifiquement la phrase suivante :  "On dit aussi que la fonction $u$ a un support compact dans $\Omega$ (attention : cela n'implique pas que $u$ s'annule sur le bord $\partial\Omega$)". Dans ce contexte, $\Omega$. Pour préciser dans cette affirmation que j'ai mentionnée, il est assumé dans la proposition que $\Omega$ est un ouvert régulier de classe $C^1$. Je ne sais pas si cela influence les réponses aux questions précédentes. Je suppose que le fait que dans mon cas je me pose les questions avec $\Omega$ un ouvert borné est pour l'instant le cas important dans mes questions, mais si les réponses changent si $\Omega$ est configuré d'une autre manière, ce serait aimable de lire aussi. Enfin, mes questions peuvent être fondamentales, et je suis presque sûr que la réponse à mon interrogation en a) semble être un oui complet. Mais pour la question b), je ne sais pas, a priori je dirais que oui également. Dans tous les cas, je vous remercie d'avance pour votre aide.
Cordialement.

Réponses

  • Syntax_Error
    Modifié (13 Feb)
    Je pense qu'il faudrait voir comment précisément est défini l'ensemble $C^k_c(\bar{\Omega})$. Par exemple pour $k=0$, si $C^0_c(\bar{\Omega})$ désigne l'ensemble des fonctions continues à support compact et dont le support est inclus dans $\bar{\Omega}\,$, une telle fonction peut ne pas s'annuler sur le bord de $\Omega$. C'est le cas par exemple du cas où $\Omega = ]0,1[$: la fonction constante égale à 1 est continue sur $\overline{\Omega}$, et son support (l'adhérence de l'ensemble des points où elle n'est pas nulle) est précisément égal à $[0,1]$, qui est bien un compact de $\overline{\Omega}$...
  • Bonsoir,
    a) Oui.
    b) Pour moi $\mathcal{C}^k_c(\overline\Omega)$ est l'ensemble des restrictions à $\overline\Omega$ des fonctions de $\mathcal{C}^k_c(\Bbb R^N)$. Donc la fonction et ses dérivées sont nulles sur $\partial\Omega$ lorsqu'on est suffisamment loin de l'origine. En revanche elles peuvent être non nulles sur un certains sous-ensemble borné de $\partial\Omega$.
  • Syntax_Error
    Modifié (13 Feb)
    @Calli: il me semble en effet que c'est comme ça que $C^k_c(\overline{\Omega})$ est défini, mais alors, dans le cas des ouverts bornés que @Apf considère, on a $C^k_c(\overline{\Omega}) = C^k(\overline{\Omega})$, non ? Donc, pour moi aussi, la réponse est a) oui et b) non, mais j'avoue être surpris par le résultat qu'il énonce (lu dans un poly de cours?) selon lequel  "on dit aussi que la fonction $u$ a un support compact dans Ω (attention : cela n'implique pas que $u$ s'annule sur le bord ∂Ω".

    J'ai du mal à comprendre comment une fonction nulle en dehors d'un compact inclus dans l'ouvert $\Omega$ pourrait ne pas êttre nulle ainsi que toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre $k$ jusqu'à  sur la frontière de $\Omega$.
  • Syntax_Error a dit :
    dans le cas des ouverts bornés que @Apf considère, on a $C^k_c(\overline{\Omega}) = C^k(\overline{\Omega})$, non ?
    En effet.
    j'avoue être surpris par le résultat qu'il énonce (lu dans un poly de cours?) selon lequel  "on dit aussi que la fonction $u$ a un support compact dans Ω (attention : cela n'implique pas que $u$ s'annule sur le bord ∂Ω".

    J'ai du mal à comprendre comment une fonction nulle en dehors d'un compact inclus dans l'ouvert $\Omega$ pourrait ne pas être nulle ainsi que toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre $k$ jusqu'à  sur la frontière de $\Omega$.
    Ils auraient dû dire "support compact dans $\overline\Omega$" et pas dans $\Omega$.
  • APf peux-tu nous donner un lien vers ce poly ? 
  • APf
    APf
    Modifié (16 Feb)
    Bonsoir, désolé pour ma réponse tardive. Merci beaucoup pour vos commentaires. Effectivement, j'aurais dû écrire $\bar{\Omega}$ au lieu de $\Omega$, c'était une erreur je suis désolé. Sincèrement, pour une raison quelconque, je trouve $C_{c}^{\infty}(\bar{\Omega})$ un espace un peu difficile pour moi en comparaison avec $C_{c}^{\infty}\Omega)$ parce que, par exemple, dans le cas de $C_{c}^{\infty}(\Omega)$, comme il est à support compact dans $\Omega$, la distance entre le compact $K$ contenu dans $\Omega$ et $\mathbb{R}^{d}\setminus \Omega$ est strictement $>0$, ce qui me garantit également que la fonction $u$ s'annule effectivement dans un voisinage du bord de $\Omega$. Mais, dans le cas de $D(\bar{\Omega})$, étant à support compact dans $\bar{\Omega}$, alors la distance entre le compact $K$ et $\mathbb{R}^{d}\setminus \bar{\Omega}$ peut très bien $=0$ et si cela est correct, je ne sais pas comment l'interpréter. C'est le polycopié que je suis en train de lire, au fait (cf.  polycopie.dvi (polytechnique.fr)) à la page 3 est justement la raison de ma question. Merci d'avance pour votre aide.
  • APf
    APf
    Modifié (16 Feb)
    Je suis confus sur pourquoi les fonctions de $C^{\infty}_{c}(\bar{\Omega})$ ne s'annulent pas au bord de $\Omega$ (au moins géométriquement cela aiderait à mon intuition). Est-ce parce que $u \in C^{\infty}_{c}(\bar{\Omega})$ alors il existe un compact $K_u$ contenu dans $\bar{\Omega}$ tel que $u = 0$ dans $\mathbb{R}^{N} \setminus K_u$, alors il pourrait se passer que le compact contienne le bord de $\Omega$ et soit contenu dans $\bar{\Omega}$, dans ce cas devrait-il y avoir une distance strictement positive entre $\Omega$, $K$ et $\bar{\Omega}$ ou pas ?
  • Héhéhé
    Modifié (17 Feb)
    Tu devrais lire la remarque 2.3.6 page 18, tout y est expliqué, notamment le fait que $C^\infty_c(\overline \Omega)= C^\infty(\overline \Omega)$ si $\Omega$ est borné.
  • Syntax_Error
    Modifié (29 Feb)
    @Apf: Il ne faut pas confondre $C_c^{k}( \overline{\Omega})$ et l'ensemble des restrictions à $\overline{\Omega}$ des fonctions de $\displaystyle \bigcap_{K \mbox{compact}, \overline{\Omega} \subset \mathring{K}} C^{\infty}_K \,\,$ où $C^{\infty}_K $ désigne l'ensemble des fonctions $C^{\infty}$ sur $R^N\,$ dont le support est inclus dans $K\,$.


    Ce dont il faut se rendre compte, c'est qu'une fonction à support compact ne s'annulle pas forcément sur la frontière de son support, cf par exemple la fonction caractéristique de $[0,1]$ (à ce sujet, bien relire la remarque 1.2.2 p3).

    Je pense que l'origine de ton trouble se niche au niveau de la définition des espaces $C^{k}( \overline{\Omega})$. La définition donnée (def 1.1.1 p2)  est que $C^{k}( \overline{\Omega})$ est l’espace des fonctions $k$  fois continûment dérivables sur $\overline{\Omega}$. C'est parfaitement exact, mais je trouve que ce n'est pas la définition la plus adaptée ici.

    Je pense que les choses sont plus claires  si on commence par défini $C^{k}( \overline{\Omega})$ en posant que cet ensemble est constitué des restriction à $\overline{\Omega}\,$ des fonctions de  $C^{k}(R^N)$ (qui sauf erreur est  aussi, lorsque $\Omega\,$ est borné, l'ensemble des restriction à $\overline{\Omega}\,$ des fonctions de  $C_c^{k}(R^N)\,$), cependant que $C_c^{k}( \overline{\Omega})$ désigne l'ensemble des fonction de $C^{k}( \overline{\Omega})$ dont en outre le support est un compact inclus dans $\overline{\Omega}\,$.

    Ensuite, on de rend compte que (comme précisé dans la remarque 2.3.6), lorque $\Omega\, $ est borné, le support d'une fonction $f$ de $C^{k}( \overline{\Omega})$ (c'est à dire l'adhérence de $\{x \in \overline{\Omega}  \,/\, f(x) \neq 0\}\, $) est forcément contenu dans $\overline{\Omega}\, $ et borné, donc compact puisque fermé, de sorte que l'on a dans ce cas $C^{k}( \overline{\Omega}) \subset C_c^{k}( \overline{\Omega})\,$, et donc égalité de ces deux ensemble puisque l'inclusion réciproque est triviale.

    Ainsi par exemple, la restriction à  $[0, 1]\,$ de la fonction exponentielle appartient à $C^{\infty}_c([0,1])$, sans que la fonction ni aucune de ses dérivées ne s'annulle sur le bord de $[0,1]\,$ (petit exercice: pourquoi, d'abord, cette fonction est-elle dans $C^{\infty}([0,1])\,$?).

    Un autre  exercice consiste à établir que l'ensemble $C_c^{k}( \overline{\Omega})$ tel que je viens de la définir, coïncide avec l'ensemble des restrictions à  $\overline{\Omega}\,$ des fonctions de  $C_c^{k}( R^N)$  (en principe, ça doit marcher, mais c'est un point à examiner...).
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