Un trièdre variable

Piteux_gore
Modifié (12 Feb) dans Géométrie
Bonjour,
Je soumets à la communauté l'exercice suivant, que j'ai eu un peu de mal à résoudre.... Je pense qu'il sera facile pour les experts.

Dans l'espace rapporté à un trièdre orthonormé $Oxyz$, un trièdre trirectangle variable $OXYZ$ recoupe en $M, N, P$ la sphère $x^2 + y^2 + z^2 - 2Rz = 0$ ; montrer que le centre de gravité du triangle $MNP$ est fixe.
À bientôt pour le suivant...
Un con sensuel vaut dix contradicteurs.

Réponses

  • Ben314159
    Modifié (12 Feb)
    Salut,
    La droite (vectorielle) portée par un vecteur unitaire $e_i=(x_i,y_i,z_i)$ reperce  ta sphère (en plus du point $O$) en $2Rz_i.e_i$.
    Le centre de gravité de 3 tels points  $G=\frac{2}{3}R\big(x_1z_1\!+\!x_2z_2\!+\!x_3z_3\,,\,y_1z_1\!+\!y_2z_2\!+\!y_3z_3\,,\,z_1^2\!+\!z_2^2\!+\!z_3^2\big)$.
    Sauf que, si la matrice des trois vecteurs $e_i$ est orthogonale, sa transposée aussi donc $G=\big(0,0,\frac{2}{3}R\big)$
  • Piteux_gore
    Modifié (12 Feb)
    RE
    J'avais fait ça à l'ancienne : formule des neuf cosini, etc.
    See you later, alligator !
    Un con sensuel vaut dix contradicteurs.

  • pappus
    Modifié (13 Feb)
    Bonjour à tous
    C'est un exercice qu'on aurait pu poser en Première ou en Terminale autrefois quand les barycentres étaient encore au programme.
    Aujourd'hui je n'en sais rien!
    Soient $M'$, $N'$, $P'$ les milieux respectifs des segments $OM$, $ON$, $OP$.
    Ce sont les projections orthogonales du centre $\Omega$ de la sphère circonscrite sur les axes mobiles $OX$, $OY$, $OZ$ du trièdre trirectangle variable $OXYZ$.
    Donc $$\overrightarrow{O\Omega}=\overrightarrow{OM'}+\overrightarrow{ON'}+\overrightarrow{OP'}=\dfrac 12\big(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}\big)$$
    D'autre part $G$ est l'isobarycentre des points $M$, $N$, $P$:
    $$\overrightarrow{OG}=\dfrac 13\big(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}\big)$$
    Finalement : $$\overrightarrow{OG}=\dfrac 23\overrightarrow{O\Omega}$$
    Et le point $G$ est fixe (Axiome de Thalès).
    Amicalement
    pappus
    PS
    Généraliser en remplaçant la sphère par un ellipsoïde en toute dimension.
  • RE
    Joli...
    Ma solution est plus laborieuse, qui utilise les propriétés de la matrice orthogonale des vecteurs unitaires... Mais sans parler de matrice !...
    Alligator
    Un con sensuel vaut dix contradicteurs.

  • Merci Piteux_gore
    Comme tu ne nous dis pas comment tu utilises la "matrice orthogonale" des vecteurs unitaires, on ne saura jamais pourquoi ta solution est  plus laborieuse.
    Je crois cependant comprendre pourquoi tu signes maintenant d'un mystérieux alligator au lieu d'un A+ aussi désinvolte qu'irritant.
    Amicalement
    pappus
    PS
    En remplaçant sphère par ellipsoïde, tu ne pourras éviter l'emploi de l'algèbre linéaire!

  • Piteux_gore
    Modifié (13 Feb)
    RE
    Soient $(a, b, c), (a', b', c'), (a'', b'', c'')$ les vecteurs unitaires du trièdre ; on a$a^2 + b^2 + c^2 = ... = 1, aa' + bb' + cc' = ... = 0$.
    Soit $u = ac + a'c' + a''c'', v = bc + b'c' + b''c'', w = c^2 + c'^2 + c''^2$ ; partant des relations précédentes, on obtient le système $au + bv + cw = c, a'u + b'v + c'w = c', a''u + b''v + c''w = c''$ ayant la solution évidente $0, 0, 1$.
    La formule des neuf cosini stipule que le déterminant des vecteurs unitaires est égal à $1$, de sorte que le système en $u, v, w$ est de Cramer, de sorte que $u = v = 0, w = 1$.
    Etc.
    Alligator
    Un con sensuel vaut dix contradicteurs.

  • Pour la signature, je suppose qu'il s'agit une abréviation de « see you later alligator » du premier message.
  • Merci Math Coss
    Je pense que $see\  you\  later$ correspond plutôt à $A+$ dans ce style $SMS$ un peu horripilant.
    En bon français, on pourrait dire: A bientôt, merci.
    Ce n'est pas beaucoup plus long et c'est plus compréhensible
    Amicalement
    pappus
  • Merci Piteux_gore
    Ce n'est pas que ta solution soit plus laborieuse qu'une autre, c'est surtout qu'elle reste très énigmatique pour tes lecteurs éventuels!
    Amicalement
    pappus
  • Piteux_gore
    Modifié (14 Feb)
    RE
    Le calcul préliminaire des coordonnées du centre de gravité du triangle donne
    $G = 2R(u, v, w)/3$ ; il faut donc montrer que $u, v, w$ sont constants.
    Que la farce soit avec vous !...
    Un con sensuel vaut dix contradicteurs.

  • Chaurien
    Modifié (14 Feb)
    Je reformulerais le problème ainsi. Soit un repère orthonormal  $\mathcal R=(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ et une sphère de centre $\Omega$ passant par $O$. 
    On suppose : $\overrightarrow{O \Omega}=a\overrightarrow{j}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}$.
     L’équation de la sphère $S$ dans le  repère $\mathcal R$  est : $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz=0$.
    Les intersections des axes du repère $\mathcal R$ avec la sphère $S$ sont les points $M,N,P$ dont les coordonnées dans le repère $\mathcal R$ sont : $M(2a,0,0), N(0, 2b,0), P(0,0,2c)$. Le centre de gravité $G$ du triangle $MNP$ a pour coordonnées  dans le repère $\mathcal R$ :  $(\frac {2a}3, \frac {2b}3, \frac {2c}3)$. 
    D'où : $\overrightarrow{OG}= \frac 23 \overrightarrow{O \Omega}$.
    Si le point $O$ est fixe ainsi que le poinr $\Omega $ et la sphère $S$, et si le repère orthonormal $\mathcal R$ est variable, alors le point $G$ est donc fixe.
  • Bonjour à tous
    Le problème de Piteux_gore était très simple et se résolvait sans les secours de la géométrie analytique.
    Ne faisons pas pour autant la fine bouche.
    Car malgré tout toutes les solutions sont bonnes à prendre.
    Par contre je n'ai pas eu de tentative de réponses au problème que j'ai posé et qui est une généralisation naturelle de celui de Piteux_gore.
    Je vais le poser dans son style inimitable.
    Soit $(E)$ un ellipsoïde de l'espace. Soit $O$ un de ses points. Un trièdre trirectangle variable $OXYZ$ le recoupe en $M$, $N$, $P$.
    Montrer que le plan $MNP$ passe par un point fixe.
    Eventuellement, lieu de ce point fixe quand $O$ décrit l'ellipsoïde.
    Là je doute qu'on ait une solution synthétique mais sait-on jamais?
    Cette généralisation est donc spécialement destinée à ceux qui ne jurent que par la géométrie analytique!
    Amicalement
    pappus
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