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Recherche contre-exemple équation différentielle

Modifié (12 Feb) dans Analyse
Bonjour
On peut lire à la page 40 de https://arege.pages.math.cnrs.fr/files/poly_2M310.pdf#page31
que pour les équations différentielles du type $X’(t)=A(t)X(t)$, avec $X$ de $\R$ dans $\R^2$, et $A$ de $\R$ dans $M_2(\R)$
il est faux en général que les solutions sont $X(t)=\exp\big(\int_{t_0}^{t} A(s) ds \big)X_0$.
Ça ne marche que si $A(s)A(t)=A(t)A(s)$ (*) pour tout $s,t \in \R$.
Pourquoi ce n’est pas vrai. Pourquoi a-t-on besoin la condition (*) ? Auriez-vous un contre-exemple ?
Merci.

Réponses

  • Modifié (12 Feb)
    Bonjour, voici un contre-exemple. $\quad A(t)=\begin{pmatrix} t & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
     
  • Modifié (13 Feb)
    @ bd2017 merci pour le contre-exemple.
  • Modifié (13 Feb)
    En fait, on n'a pas en général $\frac{d}{dt}(\exp(A(t)) = (\frac{d}{dt}A(t)). \exp(A(t))$ un peu pour la même raison que  l'on n'a pas non plus, en général, $\frac{d}{dt}(A^2(t)) = 2 (\frac{d}{dt}A(t)). A(t)$, mais plutôt: $\frac{d}{dt}(A^2(t)) = (\frac{d}{dt}A(t)). A(t) \,+\,A(t). (\frac{d}{dt}A(t)) $ : Pour que la première formule soit juste, on a besoin  de ce que $A(t)$ et $\frac{d}{dt}A(t)$ commutent, ce qui est assuré pour tout $t$ dès lors que pour tous $\alpha\,$ et tout $\beta$ on a $A(\alpha).A(\beta) \,=\, A(\beta).A(\alpha) $, d'où l'utilité de la condition (*) à laquelle tu fais allusion.
  • Il existe une formule générale pour les solutions, dont j'ai oublié le nom. On la trouve dans un sujet d'agreg externe, de mémoire l'épreuve d'analyse de 1994. La solution s'écrit sous la forme d'une série dont le terme général est une intégrale $n-$uple, qui se simplifie effectivement essentiellement dans des cas où les matrices commutent.
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