Agrégation interne - sujet 2 - partie V

LeVioloniste

Les 3 dernières questions du sujet

LeVioloniste

Q44.
Nous avons les informations suivantes :
$\forall j \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle{ \mathbb{P}(T_n=j)= \frac{1}{n^{j-1}}. \big[ \sum_{i=0}^{n-1}   (-1)^{n-k-1}. \binom{n-1}{k} i^{j-1}  \big] }$
$\forall t \in \mathbb{R}$, $\displaystyle{ \Phi_{T_n}(t)=\mathbb{E}(\exp(itT_n)) =  \sum_{j=1}^{\infty}  \mathbb{P}(T_n=j) \, e^{itj} } $
Or, $\displaystyle{ [Z_n=j] = [\frac{T_n-n\ln(n)}{n}=j] = [T_n=n(j+\ln(n))] }$ ne peut aboutir car $T_n$ n'a pas un support à valeurs entières.
Sinon
$\displaystyle{ \Phi_{Z_n}(t) =\mathbb{E}(\exp(itZ_n)) =\mathbb{E}(\exp(it.\frac{T_n-n.ln(n)}{n})) = \mathbb{E}(\exp(it.\frac{T_n}{n})\exp(-it\ln(n) )) = n^{-it}.\mathbb{E}(\exp(it.\frac{T_n}{n}) )}$
Puis $\displaystyle{ \mathbb{E}\big(\exp(it.\frac{T_n}{n})\big) = \sum_{j=1}^{\infty}  \mathbb{P}(T_n=j) \, e^{i.\frac{t}{n}.j} = \Phi_{T_n}(\frac{t}{n}) }$
Donc $\displaystyle{ \Phi_{Z_n}(t) = \frac{1}{n^{it}}. \Phi_{T_n}(\frac{t}{n}) }$
Je ne suis pas sûr de moi.

Blueberry

Oui je trouve un truc comme ça je crois.

edit : $n \ln n$ à ma 1iere ligne

LeVioloniste

Bien @Blueberry je viens de finir mon calcul, nous n'avons pas écrit de la même manière et nous ne sommes pas d'accord sur le facteur devant la série.
Je vais réfléchir.

Blueberry

Non mais tu prends le $\ln$ comme une détermination complexe du log, alors effectivement ça donnerait ce que tu as écrit mais le $\ln$ est simplement le logarithme réel.

LeVioloniste

$\exp(-it\ln(n))=\cos(t\ln(n))-i\sin(t\ln(n))$

$\displaystyle{ \Phi_{Z_n}(t) =[\cos(t\ln(n))-i\sin(t\ln(n))]. \Phi_{T_n}(\frac{t}{n}) }$ Et là nous sommes d'accord.

Je n'aimais pas mon résultat, je le trouvais louche.

Blueberry

oui on est d'accord, en fait la restriction de la dét princ du log à $\mathbb R_+^{\star}$ est bien $\ln$ je crois donc $n^{-it}$ a bien un sens en fait, il n'y a rien à redire (à vérifier je ne connais pas bien ces histoires là)

LeVioloniste

Q45

Je pense que l'idée ici est de montrer que $\lim_{n \to +\infty} \Phi_{Z_n}(t) = \Phi_{X}(t)$ pour $t<1$ mais le lien entre les 2 vas semble difficile à établir.

On a vu que la fonction caractéristique est bornée, $\exists M > 0, \forall t \in \mathbb{R}, \Phi_{T_n}(t) \leq M$ et clairement :

$\displaystyle{ \Phi_{Z_n}(t) =\exp(-it\ln(n)). \Phi_{T_n}(\frac{t}{n}) }$ donne $\displaystyle{  | \Phi_{Z_n}(t) | \leq |\exp(-it\ln(n))|.| \Phi_{T_n}(\frac{t}{n})| \leq | \Phi_{T_n}(\frac{t}{n})|  \leq M }$

L'idée semble être l'application du théorème de convergence dominée.

Pour la convergence simple : A $t$ fixé a-t-on $ \Phi_{Z_n}(t) \to_{n \to +\infty} \Phi_{Z}(t) $ et qui est la loi limite $Z$ ? C'est $X$ loi de Gumbel mais pourquoi ?

Pour la domination on l'a vue.

A réfléchir.

Une idée pourrait-être de réinjecter $\forall j \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle{ \mathbb{P}(T_n=j)= \frac{1}{n^{j-1}}. \big[ \sum_{k=0}^{n-1}   (-1)^{n-k-1}. \binom{n-1}{k}k^{j-1}  \big] }$ dans $ \Phi_{T_n}(t)$ mais cela semble costaud.

$\forall t \in \mathbb{R}$, $\displaystyle{ \Phi_{T_n}(t)=\mathbb{E}(\exp(itT_n)) =  \sum_{j=1}^{\infty}  \frac{1}{n^{j-1}}. \big[ \sum_{k=0}^{n-1}   (-1)^{n-k-1}. \binom{n-1}{k}k^{j-1}  \big] \, e^{itj} } $

$\displaystyle{ \Phi_{T_n}(\frac{t}{n}) = \sum_{j=1}^{\infty}  \frac{1}{n^{j-1}}. \big[ \sum_{k=0}^{n-1}   (-1)^{n-k-1}. \binom{n-1}{k} k^{j-1}  \big] \, e^{i \frac{t}{n}j}=  \sum_{k=0}^{n-1}   (-1)^{n-k-1}. \binom{n-1}{k} \big[ \sum_{j=1}^{\infty}  (\frac{ k}{n})^{j-1}.e^{i \frac{t}{n}j} \big] }$ on peut continuer mais de tête $X$ n'apparaît pas. $\displaystyle{ \sum_{j=1}^{\infty}  (\frac{k}{n})^{j-1}.e^{i \frac{t}{n}j} = e^{i \frac{t}{n}}. \sum_{j=1}^{\infty}  (\frac{k}{n})^{j-1}.e^{i \frac{t}{n}(j-1)} =\frac{e^{i \frac{t}{n}} }{1-\frac{k}{n}.e^{i \frac{t}{n}}  } }$

$\displaystyle{ \Phi_{Z_n}(t) =[\exp(-it/ln(n))].[\exp(it/n)].  \sum_{k=0}^{n-1}  (-1)^{n-k-1}. \binom{n-1}{k} . \frac{e^{i \frac{t}{n}} } {1-\frac{k}{n}.e^{i \frac{t}{n}}  } }$

Cela me semble être une question difficile.

LeVioloniste

Q45.

Je bloque sur cette question.

LeVioloniste

Q46.

Soit $\varepsilon > 0$

$\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(Z_n\leq \varepsilon) = \int_{-\infty}^{\varepsilon} f(x) dx = \int_{-\infty}^{\varepsilon} e^{-x}.e^{-e^{-x} } dx = e^{-e^{-\varepsilon} } }$  car $Z_n$ converge en loi vers la loi de Gumbel.

LeVioloniste

Voilà c'est la fin du sujet.

Dommage que très peu de gens aient voulu proposer leur réponses aux questions.

Un grand merci à @bd2017 qui a travaillé sur les 2 sujets et dont l'aide a été précieuse et à d'autres qui font vivre le forum par leurs interventions multiples.

Borelline

Bonjour
Àpropos de la question 45, $$\Phi_{Z_n}(t) = \exp(-it\ln(n)) \Phi_{T_n}\left(\frac{t}{n}\right)$$
Donc par la question 35.(d), $$\Phi_{Z_n}(t)= \exp(-it\ln(n)) Q_{T_n}(e^{it/n})$$
En reprenant l'expression de la question 30.(a),
$$\Phi_{Z_n}(t) = \exp(-it\ln(n)) \frac{n!}{n^n} \frac{e^{it}}{\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-k\frac{e^{it/n}}{n}\right)}  =  n^{-it}(n-1)! \frac{e^{\left(1-\frac{n-1}{n}\right)it}}{\prod_{k=1}^{n-1}\left(ne^{-it/n}-k\right)}= n^{1-it}(n-1)! \frac{e^{\left(1-\frac{n-1}{n}\right)it}}{n\prod_{k=1}^{n-1}\left(ne^{-it/n}-k\right)}  =  n^{1-it}(n-1)! \frac{1}{\prod_{k=0}^{n-1}\left(ne^{-it/n}-k\right)} =n^{1-it}(n-1)! \frac{1}{\prod_{k=0}^{n-1}\left(n(e^{-it/n}-1)+(n-k)\right)} =n^{1-it}(n-1)! \frac{1}{\prod_{k=1}^{n}\left(n(e^{-it/n}-1)+k\right)}  =n^{1-it}(n-1)! \frac{1}{\prod_{k=0}^{n-1}\left(n(e^{-it/n}-1)+k+1\right)} $$
Pour rappel, par la deuxième partie, $$\Gamma(1-it) = \lim_{n \rightarrow +\infty }n^{1-it}(n-1)\frac{1}{\prod_{k=0}^{n-1}(1-it+k)}$$
Et de plus, $$n(e^{-it/n}-1)+1 = 1+n(-it/n+o(1/n)) =  1-it + o(1)$$
Donc on n'est pas très loin mais par exemple on ne peut pas passer à l'équivalent comme le produit dépend de $n$...

bd2017

Bonjour
Est-ce que tu peux revoir ton écriture de $\Phi_{Z_n}(t)$ ?
(Dès le début)  il y a une exponentielle où je ne comprends pas le facteur.
Il me semble que le facteur est $\exp(i t)$  mais  tu as $\exp(i t/n)$ quand on simplifie ton exposant.
À moins que   tu as peut être  déjà ajouté le facteur  avec $k=0$  mais tu ne l'as pas écrit?
Sinon je pense que c'est ce qu'il faut  faire.  Il faut écrire le rapport entre les deux expressions et montrer que le rapport tend vers 1. 

Borelline

bd2017

Super détaillé. Je n'en demandais pas autant. Merci pour ton calcul. Dans la journée je regarderai ce passage à la limite à moins que tu ne le fasses avant ou quelqu'un d'autre. 

Borelline

Voici ce que j'ai écrit à propos du passage à la limite:

$(\star)$ le lien https://abailleul.perso.math.cnrs.fr/Notes/Produits%20infinis.pdf (voir lemme de la section 4.)

Oui, en effet, ici on a une suite qui dépend de $n$ mais ce lemme reste applicable. Deux façons de voir les choses : 

1. Reprendre la preuve par récurrence du pdf en musclant l'hypothèse de récurrence : 'Montrons que toute suite de $\C$ vérifie cette inégalité pour le produit de ses $n$ premier terme'

ou

2. Fixer $N$, considérer la suite $u_{k,N}$ et utiliser l'inégalité pour $n=N$.

PS. Je n'arrive pas à compiler mon code source dans le forum, il ne semble pas supporter les copier/coller... Je suis prêt à le céder en message privé, à la demande !

LeVioloniste

Question infaisable le jour du concours.

bd2017

Rebonjour

@Borelline je ne vois pas d'erreur dans ce que tu as fait. 

A un moment donné la majoration par $\dfrac{t^2}{n}e^{t/n}$  est de l'ordre de $\dfrac{1}{n}$ et elle n'est pas suffisante. Alors il a fallu gérer aussi les dénominateurs  qui sont en $\dfrac{1}{k},$ ce que tu as très bien fait.

Alors bravo pour ce calcul.