Corps résiduel algébriquement clos

noradan

Bonjour
Dans son article sur le corps de classes local
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0001870875901565?via%3Dihub
Hazewinkel considère comme totalement trivial le fait qu'une extension abélienne d'un corps valué à corps résiduel algébriquement clos est totalement ramifié.

Je ne vois pas du tout mais alors pas du tout pourquoi. D'autant moins que ce résultat serait un corollaire trivial (pas un mot d'explication dans l'article) d'un résultat concernant les corps locaux i.e. à corps résiduel fini.
Comment peut-on passer "trivialement " d'un corps fini à un corps algébriquement clos ... mystère ?

La propriété dont ce serait un corollaire est celle qui dit qu'une extension galoisienne $L$ d'un corps local contient une sous-extension totalement ramifié $L'$ qui possède la même extension maximale non ramifiée que $L$.
$L^{nr}=L'^{nr}$.

La moindre indication serait la bienvenue.

NoName

Ben, la suite exacte $$0 \to I_\mathfrak{p} \to D_\mathfrak{p} \to G(\kappa/k) \to 0$$
te dit tout de suite que le groupe de decomposition est égal au groupe d'inertie si $k$ est séparablement clos.

noradan

Il me semble que tu n'es pas dans le même cadre que moi.

Le résultat que tu énonces est celui de la théorie de Galois usuelle des extensions finies de corps de nombres. 

Alors, même s'il existe  une suite exacte qui y ressemble pour les corps locaux i.e. $k$ finie (pour lesquels $D_{\frak p}$ n'existe pas) ce n'est justement pas le cas puisqu'ici $k$ est alg. clos et ne peut donc être fini.

Et puis des extensions de corps algébriquement clos, ça existe : $\overline{\Bbb Q}\subset\Bbb C$

Mais il y a peut-être un théorème mystère que je n'ai jamais rencontré ni dans Serre ni dans Frölich-Taylor ni Cassels ni ...

NoName

Tu n'as pas besoin d'un corps local, simplement d'un corps henselien. 
En l'occurence le lemme d'Hensel te dit que si $R$ est un DVR henselien de corps residuel algebriquement clos, et si $K$ est une extension finie galoisienne de $\text{Frac} R$ alors $K$ est totalement ramifie.

noradan

Aurais-tu une référence parce que je ne trouve nulle part les résultats dont tu parles. Je viens d'éplucher Neukirsch et Serre et il n'y a pas un mot concernant des corps résiduels algébriquement clos.

Quand au seul lemme de Hensel que je trouve il n'a aucun rapport avec la question puisqu'il traite seulement de l'existence de factorisations de polynômes et je ne vois vraiment pas le rapport avec la ramification.

noradan

De surcroît, une extension abélienne n'est pas une extension finie a priori. Donc là encore il y a un problème

NoName

J'ai pas vraiment de réference, mais c'est une application directe du lemme d'Hensel.
Si $R$ est un DVR henselien de corps de fractions $K$ et si $L$ est une extension finie séparable de $K$ et si $S$ est la normalisation de $R$ dans $L$, alors si les extensions résiduelles sont séparables, on a $S$ est monogène (c'est littéralement la même preuve que dans le cas complet, seul le caractère Henselien est utilisé dans la preuve, j'imagine que la preuve est dans Corps Locaux).

Comme $S$ est monogène, les facteurs irréductibles sur $R/\mathfrak{m}$ du polynôme minimal d'un générateur de $S$, disons $f$, correspondent aux idéaux premiers au dessus de $\mathfrak{m}$, si $R/\mathfrak{m}$ est algébriquement clos, le lemme d'Hensel assure alors que la réduction de $f$ modulo $\mathfrak{m}$ est une puissance d'un $(T-a)$, donc $\mathfrak{m}$ est totalement ramifié dans $S$.

Par ailleurs une extension est totalement ramifiée ssi toute sous extension finie est totalement ramifiée.

noradan

C'est un tel bazar qu'il n'y a rien à faire, je ne comprend pas comment le tout s'articule et comment toutes les pièces se mettent en place.
Je m'explique :
Je n'ai trouvé que chez Lang (ANT, III Prop 3 p59) un résultat en apparence général sur l'aspect monogène :
Si $A$ est un avd, corps de fractions $K$, $E/K$ extension finie séparable, $B$ la clôture de $A$. S'il n'y dans $B$ qu'un seul idéal premier au dessus de $\frak p$ et si l'extension résiduelle est séparable Alors $B=A[\alpha]$.
Il le démontre sans aucun recours à quoi que ce soit
Ensuite :
La valuation de $K$ se prolonge à toute extension finie $E$: On complète $K$ et on prolonge la valuation, on le plonge dans sa clôture et on reprolonge. puis on plonge l'extension dans cette clôture, on restreint le prolongement et l'on revient dans $E$ ... en gros !
Mais alors, dans tous les cas, il n'y a bien qu'un seul idéal au dessus de $\frak p$. Pourquoi Lang, qui en général fait les choses bien, fait-il cette
hypothèse bizarre ? Passons.
Maintenant dans Frölich-Taylor (ANT, p133) Si $K$ est complet pour une val. disc. et $E/K$ finie séparable alors $${\frak o}_E={\frak o}[\alpha]\Longleftrightarrow E/K
\hbox{ totalement ramifie},$$ mais alors l'extension des résiduels est évidemment séparable puisqu'en fait il n'y a pas d'extension du tout ! De plus l'hypothèse "algébriquement clos" ne sert à rien ...
Ensuite, même si $E/K$ est finie séparable, les corps résiduels ne le sont pas a priori (et là...où trouver un exemple ?).
Pour finir, ta dernière phrase à propos des sous-extensions finies, c'est une propriété ou une définition ?Comme tu vois c'est un vrai sac de noeud dans ma tête tout s'y chevauche et s'y contredit.

Je vais voir dans Serre si j'en trouve un peu plus ; mais lui et ses avalanches de "conséquence triviale"... ca va encore être une guerre de tranchées !

noradan

J'ai enfin trouvé une définition claire d'une extension infinie totalement ramifiée, à savoir ssi toutes les sous-extensions finies le sont.

Mais alors, si je considère une extension abélienne finie, son corps résiduel est une extension finie de $k_K$ ce qui est stupide puisque ce $k_K$ est algébriquement clos. Par conséquent $k_E=k_K$ et $f=1$...