$\mathfrak S_4/\mathfrak V_4$ isomorphe à $\mathfrak S_3$ ? — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

$\mathfrak S_4/\mathfrak V_4$ isomorphe à $\mathfrak S_3$ ?

Modifié (11 Feb) dans Algèbre
$\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}$Bonjour,
[ Notation : $C_n$ est le groupe cyclique d'ordre $n$, typiquement $(\Z/n\Z,+)$.] 
Soit $\mf V=\{i,(1\, 2)(3\, 4),(1\, 3)(2\, 4),(1\, 4)(2\, 3)\}$, sous-groupe de $\mf S_4$. On sait que $\mf V$ est distingué dans $\mf A_4$ et dans $\mf S_4$. $\mf A_4/\mf V$ est d'ordre 3, donc isomorphe à $C_3$. Mais quid de $\mf S_4/V$ ? C'est un groupe d'ordre 6, donc soit il est isomorphe à $C_6$ soit il est isomorphe à $\mf S_3$.
Au départ, j'ai tenu le raisonnement suivant, dont je pense maintenant qu'il est faux. Si $\mf S_4/\mf V$ était isomorphe à $C_6$, alors $\mf S_4$ serait abélien. Or $\mf S_4$ n'est pas abélien, donc $\mf S_4/\mf V$ n'est pas $C_6$, donc c'est $\mf S_3$. J'utilise implicitement dans ce raisonnement une propriété dont je pense qu'elle n'est pas vraie en général : Si $H$ est un sous-groupe distingué de $G$ et que $G/H$ est cyclique, $G$ est abélien. Cette proposition est vraie si $H$ est le centre de $G$, c'est la proposition (4.13) de Calais. En revanche, je pense qu'elle est fausse dans le cas général. J'ai rapidement cherché un contre-exemple, mais je n'en ai pas trouvé. Si vous en connaissez un, je veux bien !
Finalement, pour identifier $\mf S_4/\mf V$, je l'ai calculé "à la main", et on voit vite que $\mf S_4/V$ compte 3 éléments d'ordre 2 et 2 éléments d'ordre 3, et donc que c'est $\mf S_3$. Je me dis qu'il doit exister une méthode plus directe et élégante.
Mes deux questions sont.
Q1) Auriez-vous un contre-exemple à la proposition dont je suppute qu'elle est fausse ?
Q2) Auriez-vous une méthode plus directe/élégante pour déterminer $\mf S_4/\mf V$ ? [j'ai aussi cherché avec le 3ème théorème d'isomorphisme, mais rien trouvé de concluant.]
Incidemment, si je ne me suis pas trompé (c'est-à-dire que $\mf S_4/\mf V$ est bien $\mf S_3$), alors ça fournit un contre-exemple à une "règle" fausse du type $\mf S_4/\mf V = \mf S_4/\mf A_4 \times \mf A_4/\mf V = C_2 \times C_3 = C_6$ (oui, je sais il y a un contre-exemple plus simples $C_2\times C_2$ n'est pas $C_4$).

Réponses

  • Modifié (11 Feb)
    C'est vrai et on peut même ajouter que $\mf S_4$ est le produit semi-direct de $K=\mf V$ par $\mf S_3$. En effet $\mf S_4$ contient un sous-groupe isomorphe à $\mf S_3$ – tout simplement le stabilisateur $H$ de $4$ – qui a une intersection triviale avec $\mf V$. (La restriction de la projection canonique $\mf S_4\to \mf S_4/\mf V$ à ce sous-groupe est un isomorphisme ; on en déduit que $\mf S_4=KH=\mf V\mf S_3$, etc.)
    Edit : deux visions de cet isomorphisme $\mf S_4/\mf V\simeq \mf S_3$ :
    • on fait agir $\mf S_4$ par conjugaison sur la classe de conjugaison des doubles-transpositions ; pour $k\in\{1,2,3\}$ on note $\bar k$ la double transposition $(k4)(ij)$ où $\{i,j\}=\{1,2,3\}\setminus\{k\}$ ; bien sûr l'action se factorise à travers $\mf V$ (puisque ce groupe est abélien) donc elle définit un morphisme de $\mf S_4/\mf V$ vers le groupe symétrique de $\{\bar1,\bar2,\bar3\}$ ;
    • on réalise $\mf S_4$ comme le groupe des isométries directes d'un cube via l'action sur les diagonales ; cette action stabilise les paires de faces opposées, d'où un morphisme $\mf S_4\to \mf S_3$ qui se factorise à travers $\mf V$ ;
    • on peut aussi jouer à ça via le birapport mais c'est un peu moins naturel.
  • Modifié (11 Feb)
    Bonjour
    J'aime bien me ramener à la géométrie : $\mf S_4$ est le groupe des rotations du cube, qui permute les quatre grandes diagonales.
    Le groupe des rotations du cube agit sur l'ensemble des trois axes (droites qui joignent les milieux de faces opposées). Le sous-groupe $\mf V$ est le noyau de cette action (composé de l'identité et des demi-tours autour de ces axes), et le quotient est le groupe des permutations des trois axes.
  • Ah tiens, j'ai ajouté le contenu du message de @GaBuZoMeu dans mon message précédent pendant qu'il l'écrivait.
  • "Si $H$ est un sous-groupe distingué de $G$ et que $G/H$ est cyclique, $G$ est abélien." --> Effectivement, cette proposition est fausse.
    Voici un contre-exemple : on considère $\mathfrak{S}_3$ et $<(123)>=\{id, (123), (132)\}$.
    Le sous-groupe engendré par le $3$-cycle $(123)$ que j'ai noté $<(123)>$ ci-dessus est d'indice $2$ dans $\mathfrak{S}_3$ donc il est distingué dans $\mathfrak{S}_3$. Ceci confère à l'ensemble quotient $\mathfrak{S}_3/<(123)>$ une structure de groupe. Comme ce groupe est de cardinal $2$ premier, il est cyclique et isomorphe à $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
    Mais $\mathfrak{S}_3$ n'est pas abélien.
  • Autre contre exemple : $SL_n(\mathbb{F}_p)$ est distingué dans $GL_n (\mathbb{F}_p)$ et $GL_n (\mathbb{F}_p)/SL_n (\mathbb{F}_p) \cong \mathbb{F}_p^*$ qui est cyclique
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