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Montrer que deux distances sont topologiquement équivalentes

Modifié (11 Feb) dans Analyse

Bonjour svp quelqu'un peut m'aider à résoudre la question a) dans exercice 1.
Merci beaucoup.

Réponses

  • Modifié (12 Feb)
    Bonjour.
    Quels sont les ouverts pour $d$ ? Quels sont les ouverts pour $d_u$ ? Au fait, c'est quoi $d_u$ ???
    Cordialement.
  • Modifié (12 Feb)
    $d_u$ c'est la distance usuelle.
    La chose que je sais c'est que je dois montrer que chaque boule pour la première distance est incluse dans la famille des ouverts de l'autre distance et vice versa.
    Mais je ne sais pas le centre que je dois choisir et aussi le rayon pour chaque boule, est-ce que vous pouvez me donner une idée ??
    Merci d'avance.
  • MrJMrJ
    Modifié (12 Feb)
    Tu dois considérer un point $a\in \R$ quelconque et un réel $r>0$, puis déterminer $B_d(a,r)$.
  • Modifié (12 Feb)
    On peut ici également remarquer que la fonction exponentielle est continue dans les deux sens (homéomorphisme), ce qui implique que la notion de convergence est la même.
  • Modifié (12 Feb)
    MrJ a dit :
    Tu dois considérer un point $a\in \R$ quelconque et un réel $r>0$, puis déterminer $B_d(a,r)$.
    Bonjour Mrj , mais juste une question, pourquoi les deux (le centre et le rayon) doivent être quelconque ??
    Merci beaucoup.
  • Ben ... revois de près la définition de "distances équivalentes". Tu sembles resté dans le "il faut faire ..." au lieu d'apprendre de quoi tu parles.
  • Bonjour,
    Juste une petite remarque qui ne change pas grand chose à l'exercice. La "distance" définie ne respecte pas l'inégalité triangulaire.
  • Elle respecte l'inégalité triangulaire.
  • ah oui oups, désolé.
  • Modifié (12 Feb)
    Les deux distances $d\,$ et $d_u\,$ seront top. équivalentes si et seulement si  l'application identité $Id_{\R}\,$ de $(\R, d_u)\,$ dans $(\R, d)\,$ est continue ainsi que sa réciproque,  et pour prouver cela, il suffit d'utiliser la  remarque de @math2.

    La continuité de $ Id_{\R}\,$ de $(\R, d_u)$ dans $(\R, d)$ résulte de la continuité de $(\R,d_u)$ dans $(\R,d_u)$ de l'application $f$ définite sur $\R$ par $f(t)= \exp(-t)$  . 

    La continuité de l'application réciproque (l'identité de  $(\R, d)\,$ dans $(\R, d_u)\,$ donc) résulte de la continuité de $f^{-1}\,$ de $(]0,+\infty[, d_u)\,$ dans $(\R, d_u)\,$.
  • Modifié (12 Feb)
    Si c'est dans le cours, j'utilise directement le critère que j'ai donné ce qui résout l'exo en une ligne (je ne vois pas pourquoi le signe - au demeurant), $u_n \to \ell$ si et seulement si $e^{u_n} \to e^\ell$ et c'est fini.

    Sinon, effectivement l'écriture des boules est ici élémentaire, et on peut parler de l'identité 
  • Modifié (12 Feb)
    @math2: Il faut quand même faire ressortir qu'on a compris le lien qui unit les affirmations "$d$ et $d_u$ sont top. équivalentes" et "la fonction $\exp$ est continue ainsi que sa réciproque", en faisant apparaître que cette continuité ainsi que celle de la réciproque, on la considère au sens de la topologie définie par $d_u\,$ (comme il y a 2 distances, il y 2 a a priori 2 topologies, et il faut préciser quelle est c elle dont on parle, puisqu'on n'a pas encore montré que ce sont les mêmes). Donc une preuve qui se résumerait à "$u_n$ tend vers $\ell $ ssi $\exp(u_n)$ tend vers  $\exp(\ell)$" me paraît trop elliptique, du moins au niveau où le fait de poser cet exercice à un sens.

    Il faudrait aussi faire apparaître qu'on a compris en quoi les les topologies associées à 2 distances différentes sont identiques dès que les suites convergentes pour chacune des 2 topologies sont les mêmes.

    Sinon, effectivement, il n'y a pas de signe $-$ à l'intérieur de l'exponentielle. C'est une coquille de ma part.
  • Modifié (13 Feb)
    J'avoue que je n'ai pas compris complètement ta remarque.
    Si on est effectivement à la découverte de la notion, je préfère démontrer que les ouverts sont les mêmes et dans ce cas cela se passe bien car les boules s'expriment facilement l'une en fonction de l'autre.
    Si on en sait un peu plus, le critère que la notion de convergence soit identique fait partie des critères usuels, d'ailleurs lorsque j'avais étudié les métriques il m'avait été donné avant l'identité en spé, mes deux profs de L3 (que ce soit à l'université ou en école) ayant d'ailleurs carrément évacué le critère de l'identité (que j'étais surpris de ne plus voir, c'est pour cela que je m'en souviens) au profit du critère de convergence. 
    Dans ce cas, ça se rédige en une chaîne de trois équivalences, et j'ai insisté sur la seule qui n'est pas triviale (toutes les convergences écrites ci-dessous étant bien entendu au sens usuel dans $\R$) :
    $(d(u_n,\ell) \to 0 )~\Leftrightarrow~ (e^{u_n} \to e^\ell)~\Leftrightarrow~ (u_n \to \ell)~\Leftrightarrow~(d_u(u_n,\ell)\to 0)$.
  • Modifié (13 Feb)
    @iMath2: Lorsqu'on a une fonction et 2 distances, et que l'on invoque un argument de continuité de la fonction, il faut dire au sens de la topologie induite par quelle distance cette continuité est considérée. Si on ne le fait pas, c'est qu'on suppose implicitement que les topologies induites par chacune des 2 distances sont égales, ce qui est un peu gênant lorsqu'il s'agit précisément du résultat que l'exercice consiste à démontrer.

    Quant au fait que 2 topologies qui possèdent les mêmes suites convergentes sont identiques, c'est faux en général, bien que vrai dans le cas où chacune de ces topologies est métrisable. Donc, de mon point de vue, ou bien ce résultat constitue une proposition de cours, il faut alors dans une démonstration qui  utilise ce résultat y faire explicitement référence, ou bien il ne constitue pas une proposition de cours, et alors il faut dans la démonstration le prouver clairement et explicitement.

    De mon côté, j'ai du mal à bien à comprendre ce qui te fait tant réagir : le fait de dire que 2 distances $d_1$ et $d_2$ sur $E\, $ sont topologiquement équivalentes ssi l’application $Id_E$ de $(E,d_1)$ dans $(E,d_2)$ est bicontinue, d'une part peut très bien constituer une définition de l'équivalence topologique, d'autre part n'est simplement qu'une façon d'exprimer que tout ouvert pour l'une est un ouvert pour l'autre, enfin permet, dans le cas où $d_2$ est définie par $d_2(x,y) = d_1(fx), f(y))$ avec $f\,$ injective bicontinue de $(E,d_1)$ dans lui-même,  de traduire immédiatement l'équivalence top. des 2 distances en propriété de bi-continuité de la fonction $f$ pour la distance $d_1$. 
  • Passer par les suites, comme le fait math2, revient à montrer que les fermés sont les mêmes pour les deux topologies, ce qui est assez expéditif étant donné qu'à ce niveau les élèves connaissent sûrement la caractérisation séquentielle des fermés.

    Mais lors d'une correction on peut montrer les deux méthodes (celles passant par les fermés et celle passant par les ouverts), c'est assez instructif je trouve.

    Quoi qu'il en soit, vu la dernière question posée par Abdoumahmoudy ICI , il me semble qu'il est assez loin de ces considérations...
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