L'équivalence $(\lambda X = 0_E) \Leftrightarrow (\lambda = 0_K \,\ \text{ou} \,\ X = 0_E)$

Amadou
Modifié (11 Feb) dans Algèbre
Bonjour ! Pouvez-vous m'aider à comprendre la démonstration de cette implication ? Puisque le ou n'étant pas exclusif. J'aimerais savoir pourquoi on en arrive à la conclusion que $\lambda \neq 0 \Rightarrow X=0_E$ à la fin de la démonstration.
Il suffit de justifier l'implication $(\lambda X = 0_E) \Rightarrow (\lambda = 0_K \,\  \text{ou} \,\ X = 0_E)$ vu ce qui précède.
 
« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »

Réponses

  • Voir ci-dessous !
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Bonjour,
    Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas.
  • Amadou
    Modifié (11 Feb)
    C'est là où est  mon problème. Les deux peuvent être simultanément nuls non ? 
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • NicoLeProf
    Modifié (11 Feb)
    Vu ce qui précède, (grâce aux règles de calcul sur les espaces vectoriels), tu as déjà l'implication : $(\lambda = 0_K \,\  \text{ou} \,\ X = 0_E) \Rightarrow  (\lambda X = 0_E)$. En effet, $\forall X \in E$, $0_K X=0_E$ et $\forall \lambda \in K$, $\lambda 0_E=0_E$. Le "ou" n'étant pas exclusif car oui, tu peux avoir à la fois $\lambda=0_K$ et $X=0_E$ et on aura quand-même : $0_K 0_E=0_E$.
    Ensuite, pour justifier l'implication qui t'intéresse à savoir : $(\lambda X = 0_E) \Rightarrow   (\lambda = 0_K \,\  \text{ou} \,\ X = 0_E) $, tu pars de $\lambda X = 0_E$. Il y a deux cas pour $\lambda$ dans le corps $K$ : $\lambda = 0_K$ et dans ce cas, nous avons démontré l'implication (il n'y a rien à faire). 
    L'autre cas étant $\lambda \neq 0_K$. Donc $\lambda$ est inversible dans le corps $K$ (puisqu'il est non nul). Il admet donc un inverse noté $\lambda^{-1}$. Si tu préfères, $\lambda$ est inversible dans le groupe multiplicatif $(K^*,.)$.
    Par suite, on peut "multiplier" à gauche chaque membre de l'égalité $\lambda X = 0_E$ par $\lambda^{-1}$. On obtient : $\lambda^{-1}(\lambda X)=\lambda^{-1}0_E$ puis par les règles de calcul sur les espaces vectoriels (notamment l'associativité mixte de la loi externe "$.$"), $\lambda^{-1}\lambda X=\lambda^{-1}0_E$ soit $X=0_E$. Et nous avons bien démontré l'implication souhaitée ! 
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • bisam
    Modifié (11 Feb)
    La phrase "Le ou n'étant pas exclusif" ne fait pas partie de la démonstration.
    Elle explique simplement que dans la phrase logique écrite au-dessus, le "ou" est (comme toujours en mathématiques) à comprendre comme un "ou" inclusif.
    Pour ce qui est de la conclusion, il a été prouvé que si $\lambda X=0_E$ alors $\lambda\neq 0 \Rightarrow X= 0_E$. Ainsi, sous l'hypothèse que $\lambda X=0_E$, soit $\lambda = 0$, auquel cas "$\lambda = 0$ ou $X=0_E$" est vérifié, soit $\lambda \neq 0$, auquel cas $X=0_E$ et par conséquent "$\lambda = 0$ ou $X=0_E$" est également vérifié.
    On peut aussi arguer que $\text{non}(A)\Rightarrow B$ est équivalent à $A \,\text{ou}\, B$, mais ce n'est pas forcément plus convaincant.
  • gerard0
    Modifié (11 Feb)
    Oui, $0.0_E=0_E$.
    Maintenant, si $\lambda$ n'est pas nul, on ne peut pas être dans ce cas.
    Et (preuve archi-classique), si $\lambda\neq 0$, alors en multipliant $\lambda .X = 0_E$ des deux côtés par $\frac 1 {\lambda}$, on obtient $X=0_E$.
    Cordialement.
  • Merci à vous. J'ai maintenant compris. Sinon je me demandais pourquoi ils n'ont pas pris en compte le cas $\lambda=0$ dans la démonstration.
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  • Amadou
    Modifié (11 Feb)
    Pour la seconde j'aimerais savoir est-ce qu'il est logique de faire la démonstration* en considérant le dernier axiome (élément neutre pour la loi externe) de la définition de l'espace vectoriel.

    *Partant de $1.x=x$ et conclure que $x=0_E$.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • NicoLeProf
    Modifié (11 Feb)
    Sinon je me demandais pourquoi ils n'ont pas pris en compte le cas λ=0 dans la démonstration.

    Ils ont bien pris en compte ce cas puisque dans ton poly, l'implication : $\lambda \neq 0_K \Rightarrow X=0_E$ a été démontrée. C'est juste que si $\lambda=0_K$, il n'y a plus rien à faire, on a déjà démontré l'implication que tu souhaitais prouver.

    Ensuite, oui, pourquoi (lorsque $\lambda \neq 0_K$), $\lambda^{-1}\lambda X=\lambda^{-1}0_E$ implique $X=0_E$? C'est un bon exo pour toi Amadou.

    Tu es d'accord que $\lambda^{-1}\lambda=1_K$ (par définition de l'inverse d'un élément non nul dans un corps) et que $1_K X=X$ (axiome d'espace vectoriel). Il reste à démontrer que $\lambda^{-1}0_E=0_E$. Tu peux, en vrai, prouver que : pour tout $\lambda \in K$, $\lambda 0_E=0_E$ en utilisant les axiomes d'espace vectoriel. Je te laisse réfléchir à cela en exercice ! ;)

    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Amadou
    Modifié (12 Feb)
    NicoLeProf a dit :
    Tu peux, en vrai, prouver que : pour tout $\lambda \in K$, $\lambda 0_E=0_E$ en utilisant les axiomes d'espace vectoriel. Je te laisse réfléchir à cela en exercice ! ;)
    Elle est facile cette démonstration.
    Soient $\lambda \in K$, $\ x\in E$. \begin{align*}
    \lambda x & = \lambda (x+0_E) \\
                       & = \lambda x + \lambda 0_E \\
    \lambda x - \lambda x & = \lambda 0_E \\
    0_E & = \lambda 0_E 
     \end{align*}
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  • Amadou
    Modifié (12 Feb)
    Je ne comprends pas pourquoi toute cette précision de $0_E$ et $0_K$. Y a-t-il une différence entre $0_E$ et $0_K$ ? Tous les deux ne sont pas $0$. Quel est donc l'intérêt de cette précision ?

    Y a-t-il une différence entre le $0$ de $\mathbb R$ et le $0$ de $\mathbb N$ ?
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  • Tu devrais plutôt demander s'il y a une différence entre $0_{\R^3}$ et $0_\R$ et la réponse est évidemment oui.
  • Je ne sais pas que signifie votre $\R$ ici. Peut-être que si je fais ce que vous me dites, j'en saurai (apprendrai) plus et j'obtiendrai peut-être des réponses à ma question.
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  • Amadou
    Modifié (12 Feb)
    Que signifie $\R$ ? Quel est donc la différence entre $0_{\R^3}$ et $0_\R$ ?
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  • $\R$ c'est l'ensemble des réels.
  • Est-ce une nouvelle notation ?
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  • L'ensemble des réels que je connais est noté $\mathbb R$. 
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  • J'ai tapé \R comme je le fais sur ce site depuis le début.
  • Amadou
    Modifié (12 Feb)
    Ah d'accord ! Maintenant c'est plus clair pour moi. Dans ce cas je dirais que $0_{\R^3}$, fait référence au triplet $(0 , 0 , 0)$ dans un espace tridimensionnel. En revanche, lorsque l'on parle de $0_\R$, cela désigne le point $0$ sur une droite. 
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  • Donc si $E=\mathbb R^3$ et $K=\mathbb R$, a-t-on $0_E=0_K$ ?
  • Amadou
    Modifié (13 Feb)
    Bonjour @gerard0 ! Non, on n'a pas $0_E=0_K$ sauf si $E=K$. J'ai compris, merci. Les mathématiques sont vraiment une véritable science, sans ambiguïté, et d'une beauté sublime.
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