Unicité d'une solution ? — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Unicité d'une solution ?

Modifié (11 Feb) dans Algèbre
Bonjour à tous
Je sèche actuellement sur un problème d'unicité d'une solution d'équation. Le problème est le suivant.
On considère $n >2$ réels $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ appartenant tous au segment $[0,1]$ et tels que $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$. On s'intéresse au système\[ \left\{ \begin{array}{l}
x_1 = 0 \\
x_n = 1 \\
 \sum\limits_{k=1}^{i-1} \frac{1}{(x_i - x_k)^2} = \sum\limits_{k=i+1}^n \frac{1}{(x_i - x_k)^2},\qquad \forall i \in \llbracket 2, n-1 \rrbracket
\end{array} \right.. \] On suppose qu'il existe une solution $x_1 < x_2 < \cdots < x_n $ à ce système.
La question est : cette solution est-elle unique ?
Autrement dit, la question de l'existence de solutions ne m'intéresse pas : seule la question de l'unicité d'une éventuelle solution m'intéresse.
Quelqu'un voit-il comment faire (ou a-t-il des idées de pistes)?
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
Ps : je poste cette question dans la rubrique "Algèbre", mais comme je n'ai aucune idée de comment résoudre ce problème, peut-être que la solution relèverait plutôt d'analyse que d'algèbre; excusez-moi d'avance si c'est le cas !

Réponses

  • Je serais surpris que toutes les solutions soient fixées par l'involution qui envoie chaque $x_i$ sur $1-x_i$.
  • Et même si tel est le cas, une contraction ($x_i\mapsto kx_i$ pour tout $i$ et $k$ non nul fixé) envoie une solution sur une autre.
  • Modifié (11 Feb)
    @Math Coss merci pour votre réponse. Je pense en revanche que votre argument ne marche pas, car la contraction ne pourrait pas s'appliquer à $x_1$ et à $x_n$ (qui apparaissent dans les sommes définissant le système d'équations)...
  • Modifié (11 Feb)
    Bonjour
    Comment peux-tu démontrer l unicité d'une  chose qui n'existe pas. Pour n=3, dire que $x_2$ existe c'est dire que 1=0 vu la condition $\frac 1{0 -x_2}=\frac 1{1 -x_2}$.
    Le 😄 Farceur


  • @gebrane attention aux carrés dans les sommes! Pour $n=3$, $x_2 = \frac{1}{2}$ convient.
  • Ok pour la contraction, je n'ai pas été assez attentif et l'écran est trop petit.
  • oulla la j'ai noté dans mon brouillon les termes sans les carrées .
    @vassilia Voici un exercice que je ne sais pas faire ( en 5mn), à toi la main :mrgreen:
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (11 Feb)
    adrien2019 parfois  l'existence donne l'unicité 
    Peux tu donner les $x_i$ pour n=4 et n=5 pour voir l évolution de ces $x_i$  je n'ai pas de quoi écrire la où je suis 
    Peut être un programme peut faire les calculs 
     pour les petits n 
    Le 😄 Farceur


  • @gebrane Le problème est que la résolution exacte équivaut à trouver les racines de polynômes de degrés élevés, dont on sait qu'il n'existe pas forcément de formule close pour en déterminer les racines... L'existence de solutions n'est pas ce qui m'intéresse ici: c'est vraiment la question de l'unicité de ces éventuelles solutions. On peut reformuler ainsi: supposons qu'il existe une solution $x_1 < \cdots < x_n$; cette solution est-elle unique?
  • Voir cette discussion (mais est-ce plus clair ?).
  • J ai cru qu'il y avait une forme close,
    Avec un programme les x_i deviennent chaotique des n>4   
    Merci pour ce joli problème
    Le 😄 Farceur


  • Si je n'ai pas fait d'erreur de calculs, ton système vérifie les conditions permettant d'affirmer qu'il existe une fonction $F(x_1,...,x_n)$ telle que ton système d'équations s'écrive $\nabla F =0$.
    L'ensemble sur lequel tu cherches des solutions est convexe.
    Si la fonction $F$ est strictement convexe, on peut peut-être prouver l'unicité grâce à cela.

    Je n'ai pas eu le courage d'intégrer pour trouver $F$, mais ce n'est peut-être pas aussi dur que ça en a l'air.
  • Modifié (11 Feb)
    @bisam je ne vois pas comment intégrer pour trouver $F$... comment vous y prenez-vous ?
  • Modifié (11 Feb)
    On peut voir ce problème comme un problème d'électrostatique : $n$ particules de même charge (disons +1), placées en $x_1$, ... $x_n$,  sont contraintes au segment $[0,1]$ et chacune crée un "champ électrique" égal à $E_i(x) = \dfrac{1}{(x-x_i)^2} \dfrac{x-x_i}{|x-x_i|}$ (c'est le champ de Coulomb en 3 dimensions, mais le long d'une droite). La condition principale veut que le champ total perçu en $x_i$, qui est égal à $\sum_{j\neq i}E_j(x_i)$, soit nul pour chaque point intérieur (donc pour $2\leq i\leq n-1$). En électrostatique, ce serait une situation d'équilibre et les particules placées de cette manière ne bougeraient pas.
    C'est juste une remarque, car après je ne vois pas non plus comment faire...
    J'avais lu quelque part que pour le même problème avec le potentiel 2D (en $\log |x|$, et le champ en $1/x$) on obtient les polynômes de Legendre sur $[0,1]$... Alors, "intuition" : peut-être que les polynômes $P_n(X) = (X-x_1)\cdots (X-x_n)$ (pas les mêmes $x_i$ pour chaque $n$) sont orthogonaux pour un certain produit scalaire à trouver. Ça les ferait exister, et être unique.
    Après je bloque.
  • Up! 
    C'est la première fois au forum qu'une question résiste aussi fort
    Le 😄 Farceur


  • Math Coss : ton involution ne serait-elle pas plutôt $x'_{n+1-i}=1-x_i$ ?
  • Modifié (15 Feb)
    Oui, bien sûr, puisque les $x_i$ sont ordonnés. Je ne suis plus du tout convaincu qu'il n'y ait pas unicité à vrai dire (après avoir manipulé pour $n=4$ et, je crois, $n=5$).
  • Modifié (16 Feb)
    De   la contribution de i.zitoussi et bisam
    Je note    pour tout $x$ distinct des $x_j$,  $f_j(x)=-\frac {1}{|x-x_j|}$.

     on a $f_j'(x)= \frac{x-x_j}{|x-x_j|^3}$ pour tout $x$ distinct des $x_j$ , en particulier
    $f_j'(x_i)= \frac{x_i-x_j}{|x_i-x_j|^3}$, en particulier :mrgreen:   $f_j'(x_i)= \frac{1}{(x_i-x_j)^2}$ si $j<i$  et  $f_j'(x_i)= -\frac{1}{(x_i-x_j)^2}$ si $j>i$  

     L'hypothèse $$\sum\limits_{j=1}^{i-1} \frac{1}{(x_i - xj)^2} = \sum\limits_{j=i+1}^n \frac{1}{(x_i - x_j)^2},\qquad \forall i \in \llbracket 2, n-1 \rrbracket$$ s'écrit  donc $$\sum_{j\neq i}  f_j'(x_i)=0 \quad \forall i \in \llbracket 2, n-1 \rrbracket.$$La suite à voir avec mon papa @john_john :mrgreen:
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (17 Feb)
    Bonjour
    Il me semble que les conditions correspondent à l’annulation du gradient de la fonction $\displaystyle f:(x_2,x_3,...,x_{n_-1})\longmapsto \sum_{j>k}\dfrac{1}{x_j-x_k}$ et que la fonction est strictement convexe sur le domaine $0<x_2<x_3<\dots<x_{n_-1}<1\quad (\star)$ et tend vers l'infini à la frontière du domaine.   
    Est-ce que ça n'assure pas que le gradient s'annule en un unique point, à savoir le minimum de la fonction ?

    $(\star)$ vu que $f(tx\!+\!(1-t)y)$ est une somme d'expressions de la forme $\dfrac{1}{at+b}$ dont la dérivée seconde en $t$ est $\geqslant 0$ (pour $at\!+\!b>0$) et que, parmi ces expressions, l'une au moins a un $a\!\not=\!0$ (si $x\!\not=\!y$) ce qui donne une dérivée seconde strictement positive.
  • Merci Ben ton approche est le bon 
    Le 😄 Farceur


  • C'était ce que j'avais suggéré et que j'avais finalement réussi à écrire vendredi mais que je n'ai pas eu le temps de poster.
    Merci @Ben314159 d'avoir fini le calcul.
  • En cherchant un autre truc, je suis tombé sur le même  problème sur MSE
    Il est donné un un code en Python que je ne comprends pas . @dp help me 
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (18 Feb)
    C'est du code super archi. optimisé un max. pour trouver la solution d'un problème : ça teste des valeurs complètement au hasard et ça renvoie la meilleure trouvée . . .
  • Modifié (18 Feb)
    Si quelqu'un peut donner un code pour ce problème, je le remercie (en python de préférence)
    Le 😄 Farceur


  • dpdp
    Modifié (18 Feb)
    @gebrane Astuce de (semi-)pro: découper le code en petits morceaux indépendant, essayer de les comprendre et les exécuter séparément. Ensuite, assembler les Lego un à un pour voir ce que ça fait (tout en cherchant à comprendre ce qu'il se passe).
    Astuce de pro: Utiliser la documentation si jamais on ne comprend pas une fonction : https://docs.python.org/3/library/index.html
    「少年はみんな 明日の勇者ぁ〜!」
  • dp le problème est dans la conception de l algorithme, si tu as lu le message de Ben tu comprendras 
    Le 😄 Farceur


  • dpdp
    Modifié (18 Feb)
    Je ne vois pas en quoi ça le rend plus compliqué à comprendre… ^^' Il est même plutôt straightforward dans son approche.
    「少年はみんな 明日の勇者ぁ〜!」
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!