Endomorphismes conjugués ?

michal

Bonjour
Soit $E$ un espace vectoriel réel non nul et $u,\, v\in \mathcal L(E)$ tels que $u^2=-\mathrm{Id}_E$ et $v^2=-\mathrm{Id}_E$. 

Je me demande si $u$ et $v$ sont conjugués en dimension infinie. 

C'est vrai en dimension finie. En effet, on peut montrer que dans ce cas la dimension de $E$ est nécessairement paire et qu'il existe deux bases de $E$ de la forme suivante :  $$\mathcal B=(e_{1},\dots,e_{n},\,u(e_{1}),\dots,\,u(e_{n}))\qquad \ \text{et}\ \qquad \mathcal B'=(e'_{1},\dots,e'_{n},v(e'_{1}),\dots,\,v(e'_{n}))$$

Il suffit alors de poser un isomorphisme $\varphi : E \rightarrow E$  tel que : $$\forall i,\ \varphi(e_i)=e'_{i}\ \textrm{ et } \varphi(u(e_{i}))=v(e'_i),$$

pour avoir $\varphi^{-1}\circ v\circ \varphi=u$.

Merci d'avance pour vos réponses.
Michal.

john_john

Bonjour, Michal,
à moins que je ne passe à côté d'une difficulté, je réponds oui. En effet, $E$ admet une base de la forme (respectivement) $(e_i,u(e_i), i\in I$ et $e'_j,v(e'_j), j\in J$ (voir ci-dessous) et elles ont même cardinal, car ce sont deux bases de $E$.

L'existence se voit grâce au fait que, par exemple, $E$ devient un $\C$--espace si l'on pose ${\rm i}\cdot x=u(x)$.

michal

Bonjour john_john, 

ce que tu dis, c'est que si $(e_i)_{i\in I}$ est une $\C$-base de $E$, alors $(e_i, u(e_i))_{i\in I}$ est une $\R$-base de $E$ ?

GaBuZoMeu

Bonjour,

Je dirais les choses d'une autre façon, mais toujours en suivant la même ligne et toujours en utilisant l'axiome du choix.

On considère un sous-espace $F$ de $E$ maximal parmi ceux tels que $F\cap u(F)=\{0\}$. On démontre alors que $E=F\oplus u(F)$. On procède de la même manière pour avoir une décomposition $E=G\oplus v(G)$. Il ne reste plus qu'à choisir un isomorphisme linéaire $\varphi : F\to G$ et à le prolonger de façon adéquate en un automorphisme de $E$ qui conjugue $u$ en $v$.

michal

Merci à vous deux.
Il y a juste un truc qui m'échappe dans la réponse de Gabuzomeu : pourquoi $F$ et $G$ sont isomorphes ?

GaBuZoMeu

Parce qu'ils ont même dimension.

michal

En dimension infinie ?

GaBuZoMeu

Oui, même dimension que $E$.

john_john

Bonsoir, Michal,
je n'avais pas vu passer ta question ; oui, effectivement, si $(e_i)$ est une $\C$--base de $E$, alors, $(e_i,u(e_i))$ en est une $\R$--base.

michal

GaBuZoMeu a dit :

Oui, même dimension que $E$.

D'accord. Et peut-on construire un isomorphisme explicite ?

GaBuZoMeu

Non. Pas plus que dans la solution de @john_john on ne peut construire explicitement des bases, en général.

john_john

A noter que le même raisonnement s'applique dès que $u$ annule un polynôme $P$, irréductible sur le corps de base $K$. Cela se voit bien avec la solution de GaBuZoMeu, mais aussi parce que l'on peut faire de $E$ un espace vectoriel sur le corps $K[u]$. Au passage, lorsque la dimension de $E$ sur $K$ est finie, cela montre qu'elle est multiple de ${\rm deg}\,(P)$.