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Deux droites perpendiculaires

S0_S0_
Modifié (11 Feb) dans Géométrie
Salut à tous,

$ABC$ est un triangle, on le coupe avec la transversale $(A'B'C')$,
On considère le quadrilatère complet $ABCA'B'C'$ et $M$ sont point de Miquel,
On suppose que $B,C,B'$ et $C'$ soient cocycliques sur le cercle de centre $O$,
Prouver que $(OM)$ perpendiculaire à $(AA')$

Réponses

  • Bonsoir,
    J'utilise les coordonnées barycentriques.
    Le triangle de référence ABC $\quad A,B,C\simeq\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right).$
    Une transversale d $ux+vy+wz=0.$
    Les points $A',B',C'$ $\quad A',B',C'\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ w\\ -v\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -w\\ 0\\ u\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} v\\ -u\\ 0\end{array}\right).$
    Le point de Miquel $\quad M\simeq\left(\begin{array}{c} -a^2 (u - v) v (u - w) w\\ b^2 u (u - v) (v - w) w\\ -c^2 u v (u - w) (v - w)\end{array}\right).$
    Le cercle $\odot BCC'$ $\quad -c^2 u x^2 - c^2 v x y +(b^2 u - c^2 u - b^2 v) x z+a^2 (u - v) y z=0.$
    Par suite, on a : $B' \in \odot BCC' \iff w (b^2 u - c^2 u - b^2 v + c^2 w)=0.$
    Le point $O$ centre du cercle $\odot BCC'$ $\quad O\simeq\left(\begin{array}{c} -a^2 (a^2 (u - w) + c^2 (-u + w) + b^2 (u + w))\\ b^2 (a^2 (2 u - w) + (b^2 - c^2) w)\\  a^2 (b^2 u + c^2 (u - w)) - (b^2 - c^2) (b^2 u + c^2 (-u + w))\end{array}\right).$
    La droite $(AA')$ $\quad vy+wz=0.$
    La droite $(OM)$ $\quad -b^2 u (v - w) (-(b^2 - c^2) u w (b^2 (u - v) + c^2 (-u + w)) +
       a^2 (b^2 u (u - v) w + c^2 (u - w) (-2 v w + u (2 v + w))))x+ -a^2 v (u - w) (-c^4 v (u - w)^2 + b^4 u (-u + v) w +
       a^2 (c^2 v (u - w)^2 + b^2 u (u - v) w) +b^2 c^2 (v w^2 + u^2 (v + w) - u w (v + 2 w)))y+ a^2 b^2 (u - v) w (-c^2 (u - w) (v w + u (-v + w)) +
       b^2 (u w^2 - v w^2 + u^2 (-v + w)) +a^2 (u - w) (-v w + u (v + w)))z=0.$
    On pose : $Pyth=\begin{pmatrix} 2 a^2& -a^2 - b^2 + c^2& -a^2 + b^2 - c^2\\ -a^2 - b^2 + c^2& 2 b^2& a^2 - b^2 - c^2\\ -a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2& 2 c^2\end{pmatrix}.$
    On a:
    $\small \begin{pmatrix} 0 \\ v \\ w \end{pmatrix}Pyth\begin{pmatrix} -b^2 u (v - w) (-(b^2 - c^2) u w (b^2 (u - v) + c^2 (-u + w)) +
        a^2 (b^2 u (u - v) w +
           c^2 (u - w) (-2 v w + u (2 v + w)))) \\ -a^2 v (u -
        w) (-c^4 v (u - w)^2 + b^4 u (-u + v) w +
        a^2 (c^2 v (u - w)^2 + b^2 u (u - v) w) +
        b^2 c^2 (v w^2 + u^2 (v + w) - u w (v + 2 w)))\\ a^2 b^2 (u - v) w (-c^2 (u - w) (v w + u (-v + w)) +
        b^2 (u w^2 - v w^2 + u^2 (-v + w)) +
        a^2 (u - w) (-v w + u (v + w))) \end{pmatrix}^{T}=$
    $(a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c) w (b^2 u - c^2 u -
       b^2 v + c^2 w) (-a u v + b u v - b u w + a v w) (-a u v - b u v +
       b u w + a v w).$
    Or par hypothèse, les points $B, C, B′$ et $C′$ sont sur un même cercle de centre $O$. Mais $B' \in \odot BCC' \iff w (b^2 u - c^2 u - b^2 v + c^2 w)=0.$
    Par suite, on a:
    $\small \begin{pmatrix} 0 \\ v \\ w \end{pmatrix}Pyth\begin{pmatrix} -b^2 u (v - w) (-(b^2 - c^2) u w (b^2 (u - v) + c^2 (-u + w)) +
        a^2 (b^2 u (u - v) w +
           c^2 (u - w) (-2 v w + u (2 v + w)))) \\ -a^2 v (u -
        w) (-c^4 v (u - w)^2 + b^4 u (-u + v) w +
        a^2 (c^2 v (u - w)^2 + b^2 u (u - v) w) +
        b^2 c^2 (v w^2 + u^2 (v + w) - u w (v + 2 w)))\\ a^2 b^2 (u - v) w (-c^2 (u - w) (v w + u (-v + w)) +
        b^2 (u w^2 - v w^2 + u^2 (-v + w)) +
        a^2 (u - w) (-v w + u (v + w))) \end{pmatrix}^{T}=0.$
    Ainsi les droites $(OM)$ et $(AA′)$ sont perpendiculaires.
    Amicalement
  • S0_S0_
    Modifié (12 Feb)
    Salut Bouzar,
    Merci pour la réponse,
    Je ferai pour moi demain ou ce soir...
    Cordialement
    Bonaventure-S0_
  • Modifié (12 Feb)
    Bonjour,
    http://web.archive.org/web/20231003013612/https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/index.html
    puis vol. 13  Auguste Miquel
    puis p. 38-41

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Salut cher JLA,
    Je suis allé sur le lien mais je n'ai rien compris...
    J'ai vu une affiche mais rien d'autre
    Comment faire ??
    Cordialement
    Bonaventure-S0_
  • Bonjour, Bonaventure @SO_
    Il te faut cliquer sur le bouton "Contenu", et tu verras apparaitre la liste des volumes. Tu cliques sur celui qui t'intéresse, et tu verras le sommaire du volume, et il te reste à cliquer sur l'article en question ...
    Bien cordialement, JLB 
  • S0_S0_
    Modifié (13 Feb)
    Salut cher JLB,
    Je suis content de l'aide..
    J'ai vu effectivement l'intégralité sur les choses du cercle de Miquel..
    Cordialement
    Bonaventure-S0_
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