Deux remarques sur A180124

Cidrolin

En regardant de près la suite https://oeis.org/A180124 je suis amené à faire deux remarques :

1) On peut donner une formule pour $c(n)$. $$\displaystyle c(n)=\Big \lfloor n(\sqrt3 +1)+\dfrac{\sqrt3-1}{2}\Big \rfloor.$$
Il faudrait  un volontaire (bon dans la langue de Rowan Atkinson)  pour l'indiquer dans l'oeis.

2) Je pense que $3c(n)+2n=c(b(n)+1)$. Contrairement au 1) je ne sais pas le prouver.

Merci @Boécien pour la correction.

Il semble que $3c(n)+2n=c(c(n)+n)$.

Boécien

Pour ta formule 2) il doit y avoir un pb d'indice non ?
$3c(n)+2n-c(b(n)+1)$ me donne $3,0,0,3,3,0,0,3,0,0,0,3,0,0,3,...$

En revanche je trouve que $3c(n)+2n+2=b(c(n)+1)$

Cidrolin

Merci @Boécien, j'ai corrigé. On a maintenant deux propriétés à établir.

jandri

Je n'ai pas de démonstration pour ces deux propriétés mais cela m'a rappelé quelque chose : Trois suites

Les formules qui expriment les trois suites sont démontrées à la fin du fil.

Ben314159

Salut,
Il me semble que, une fois qu'on a trouvé la formule qui donne $a_n$ en fonction de $n$, le reste est plutôt simple. 
En particulier les deux formules dont vous parlez, ce ne sont que des vérifications, non ?

jandri

Bravo Ben314159, j'avais pourtant les formules donnant les trois suites mais je ne pensais pas que ce serait aussi simple d'en déduire les deux formules conjecturées : il suffisait d'appliquer la définition de la partie entière !

Boécien

Effectivement, bravo Ben314159 toujours aussi adroit!

Parfois les attaques directes marchent.

Ce qui intéressant lorsqu'on a une partition (ici de 3 suites a,b,c) c'est d'arriver à exprimer a,b,c en fonction de a,b,c. Je m'explique, trouver une formule donnant a(a(n)), a(b(n)), a(c(n)) en fonction de a(n),b(n),c(n),n,1 etc.  J'arrive à le faire pour a(b(n)) et a(c(n)) mais pas pour a(a(n)).

a(b(n)) =3a(n)+2n-1

a(c(n))=3c(n)-a(n)-2n+3

En décalant on y arrive un peu mieux

a(a(n)+1)=2a(n)+2n

a(b(n)+1)=3a(n)+2n+2

a(c(n)+1)=2c(n)+2n+1

b(a(n)+1)=3a(n)+2n+1

b(b(n)+1)=4a(n)+3n+3

b(c(n)+1)=3a(n)+2n+2

pour c moins facile

c(a(n)+1)=?

Cidrolin

Merci à tous.

Une question me tire souci : quand on ne connait pas la suite A180124, ni ses voisines comment

résoudre l'équation fonctionnelle ci dessous ?

$f$ est une fonction de $\N^*$ vers $\N^*$ telle que pour tout $n$

$$3f(n)+2n=f(f(n)+n)$$

Boécien

Sans autre contrainte il y a en sans doute beaucoup. Il faudrait peut-être imposer f croissante et minimale... et donner f(1)=0 ou 1.

Cidrolin

Bonjour, en cherchant des fonction de $\R$ vers $\R$ vérifiant l'équation fonctionnelle, on tombe facilement sur :

$x\mapsto (\sqrt 3+ 1)x$.

Un bon candidat semble être $f$ définie par $f(n)=\lfloor (\sqrt 3+ 1)n\rfloor$.

Boécien

Tu as sauf erreur la famille f(n)=floor((sqrt(3)+1)*n+s)  avec 0<=s<1 réel. Mais d'autres sont possibles.

Cidrolin

Merci Boécien.

Cette équation fonctionnelle me rappelle une conjecture démontrée par @LOU16.

Boécien

La technique directe de Benfloor(Pi*10^5) fonctionne ici.

Ben314159

Pour m'occuper, je viens de regarder ce que ça donne si on remplace le $b_n=n+a_n$ par $b_n=\alpha n+a_n$ avec $\alpha\in{\mathbb N}^*$.
Et en fait ça ne change quasiment rien : on a $a_n=\lfloor\lambda n-1\rfloor$ où $\lambda$ est la racine positive de $(\lambda-2)(\lambda+\alpha)=\lambda$.
Je trouve ça un peu surprenant que ce soit systématiquement $-1$ dans la partie entière et je me demande si ça ne signifie pas qu'il y a une méthode bien plus subtile.

Boécien

C'est sans doute pour ça que a(n)+1, b(n)+1, c(n)+1 sont plus naturelles.

Sinon pour revenir à l'équation fonctionnelle de Cidrolin. Si on impose $f(1)=1$  on a nécessairement $f(x(n))=y(n)$ pour tout $n>0$ où
\begin{align*}
x(0)& = 1, &x(1)& = 2, &x(n) &= 4x(n-1) - x(n-2)\\
y(0)& = 1,& y(1) &= 5,& y(n) &= 4y(n-1) - y(n-2)
\end{align*}