Dérivation au sens des distributions

romziath
Modifié (10 Feb) dans Analyse
Bonsoir à tous
J'aimerais savoir si l'identité ci-dessous est correcte :
$\frac{\partial }{\partial t}(\int_\Omega  u\cdot v)= \int_\Omega   \frac{\partial u}{\partial t} \cdot v ,   \quad \forall  v \in  (C^\infty(\Omega))^3$,
au sens des distributions.
$u \in (L^2(\Omega) )^3,  \quad  \Omega \subset \mathbb{R}^3$, $v$ une fonction test.

Réponses

  • $u$ doit être définie sur un produit j'imagine, sinon je ne vois pas pourquoi il y aurait du $t$.
  • D'après les données, l'égalité est correcte    0=0
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • romziath
    Modifié (10 Feb)
    Effectivement $v \in  (L^2(]0,T[\times \Omega)$.
    Donc $ \frac{\partial }{\partial t}(\int_\Omega  u\cdot v)= \int_\Omega   \frac{\partial u}{\partial t} \cdot v ,    $ dans $ C^\infty(]0,T[)$
    Par contre je n'ai pas compris la réponse de gebrane

  • Bah d'après tes hypothèses u et v ne dépendent pas de t . 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • SkyMtn
    Modifié (11 Feb)
    D'abord, la fonction $\int_\Omega u(t,x) v(x) \,\mathrm dx$ de la variable $t$ est de carré intégrable sur $]0,T[$ (avec de l'inégalité de Cauchy-Schwarz par exemple). On peut donc la considérer comme une distribution, et calculer sa dérivée.

    Si $\varphi$ est une fonction test sur $]0,T[$ on a, en supposant que $\frac{\partial}{\partial t} u(t,x)$ existe dans $L^2(]0,T[{}\times \Omega)$ disons : 
    $$ \begin{split} \bigg\langle \frac{\partial}{\partial t} \int_\Omega u(.,x) v(x)\,\mathrm dx, \varphi\bigg\rangle &= - \int_{]0,T[{}\times \Omega} u(t,x) v(x)\varphi'(t) \,\mathrm dt\mathrm dx \\
    &= - \int_{]0,T[{}\times \Omega} u(t,x) \frac{\partial}{\partial t}\Big[v(x)\varphi(t)\Big] \,\mathrm dt\mathrm dx\\
    &= \int_{]0,T[{}\times \Omega} \frac{\partial}{\partial t} u(t,x) \Big[v(x)\varphi(t)\Big] \,\mathrm dt\mathrm dx\\
    &= \bigg\langle  \int_\Omega \frac{\partial u}{\partial t}(.,x) v(x)\,\mathrm dx, \varphi\bigg\rangle \end{split}$$
    L'égalité $\frac{\partial}{\partial t} \int_\Omega uv = \int_\Omega \frac{\partial u}{\partial t} v$ est vraie au sens des distributions. On peut affaiblir encore les hypothèses sur $u$, mais il faut donner un sens à l'intégrale d'une distribution (au sens de Schwartz) et utiliser des théorèmes d'échanges limite-intégrale plus subtils.
  • romziath
    Modifié (11 Feb)
    Merci Sky Mtn pour ta réponse.... mais est-ce qu'on a besoin forcément de l'existence de $\frac{\partial u}{\partial t}$ dans $L^2(]0,T[\times \Omega)$ 
    On peut utiliser le fait que toute fonction est dérivable au sens des distributions.
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