Un exercice difficile proposé en 6è — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Un exercice difficile proposé en 6è

Je propose de nous attarder sur un exercice trouvé dans un sésamath destiné à des collégiens.

On doit aller d'un point $A$ (départ) à un point $B$ (arrivée) en passant par une rivière $d$ et en parcourant le moins de chemin possible.

Les élèves font d'abord une recherche en essayant plusieurs chemins $1,2,3,4$et en complétant un tableau avec les différents périmètres $p_1, p_2, p_3, p_4$. J'utilise périmètre comme sur geobra pour la longueur d'une ligne brisée. Sur deux classes auxquelles j'ai proposé l'exercice, aucun élève n'a pensé de son propre chef à utiliser les symétriques, bien que l'exercice fasse partie du chapitre Symétrie axiale; par contre, ils ont tous très naturellement pensé à la ligne droite pour rejoindre la rivière à partir de $A$. Une fois donnée l'indication : "peut-être pourrait-on utiliser la symétrie axiale", la solution a été rapidement trouvée par une partie des élèves. Par contre, des doutes sur cette solution sont apparus, certains élèves pensant avoir mesuré un chemin plus court que le chemin rouge. Par ailleurs, avec une animation geogebra, du fait de l'arrondi, des élèves ont fait remarquer qu'il y avait peut-être plusieurs possibilités... Les doutes ont été accentués quand j'ai proposé un billet de 10 euros à qui trouverait un chemin plus court :).

A partir de là, pour garder mes 10 euros, j'étais contraint à une démonstration. La connaissance "le chemin le plus court d'un point à un autre est la ligne droite" ayant été implicitement acceptée, l'inégalité triangulaire $\color{red}(1)$ en découlait.
Par ailleurs, les élèves savaient que "$B'$ symétrique de $B$ par rapport à $d$" revenait à écrire "$d$ médiatrice de $BB'$ "$\color{green }(2)$;
 que si un point est sur la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités"$\color{blue}(3)$;
que "si $\color{red}a=b$, alors $\color{red}a+\color{blue}c\color{red}=b+\color{blue}c$"$\color{Magenta} (4)$, par exemple à travers l'exemple "$\color{red}5=2+3 $ donc $\color{red}5+\color{blue}7=\color{red}2+3+\color{blue}7$";
que si $M\in [AB]$, alors "$AB=AM+MB$"$\color{Orange} (5)$

Il a fallu ensuite dans un premier temps formaliser le problème : on cherche $H$ tel que pour tout point $M$sur $d$,$AM+MB>AH+HB$.

Puis prouver que $H=I$ est le seul point qui convient.
Voici écourtée et avec des abus de notation évidents que j'ai évidemment épargnés aux élèves, la démonstration que j'ai fournie : soit $M$ un point quelconque autre que $I$ sur $[AB]$, $B'$ le symétrique de $B$ par rapport à $d$ et $I:=[AB']\cap d $ $$\color{blue}AM\color{black}+MB=\color{blue}AM\color{black}+MB'>AB'=\color{blue}AI\color{black}+IB'=\color{blue}AI\color{black}+IB$$ d'après, dans l'ordre d'utilisation, $\color{green }(2)$,$\color{blue}(3)$, $\color{Magenta} (4)$, $\color{red}(1)$, $\color{Orange} (5)$ et enfin à nouveau  $\color{green }(2)$,$\color{blue}(3)$ et  $\color{Magenta} (4)$.

Conscient que la démonstration n'était pas envisagée par les auteurs de sésamath et que seules les premières étapes l'étaient, faire la démonstration à des sixièmes dont certains ont l'esprit très vif, ne m'a pas paru inutile ni trop problèmatique pour les élèves plus en difficulté, auxquels on pense le plus fréquemment en préparant ses cours. Pour une fois, tenter de satisfaire la curiosité de très bons élèves fait la mesure.

En lisant Poincaré, je me demande un peu ce qu'il aurait pensé de cet exercice même si la situation de 2024 est bien différente de celle de 1908. 
Que pensez-vous de tout cela?
1. - La démonstration est-elle correcte d'un point de vue strictement mathématique ?
2. - Est-elle utile à un élève de sixième ayant des facilités en maths ?
3.- Est-elle utile à un élève de sixième ayant des difficultés en maths ?
Peut-être est-ce mettre la charrue avant les boeufs même pour de très "bons élèves"... 
4. - Où s'arrêter dans un tel exercice ? Jusqu'où aller ? ...

Réponses

  • Cela veut dire quoi exactement ’’en passant par la rivière d’’? Personnellement je comprends que l’on doit marcher au bord de cette rivière.
  • Il faut toucher la rivière puis repartir. 
    Éventuellement on peut dire que dans un jeu il faut toucher le mur et aller en B. 
    Avec la rivière on peut dire « on part de A, on va remplir il sceau et on repart vers B » en disant qu’on veut le moins de trajet possible. 
  • Modifié (10 Feb)
    Cette histoire du sceau  seau enlève à la fois l’ambiguïté (pour ma part) et rend l’exercice plus intéressant. :)
    J’étais plutôt parti pour un exercice où on demande à un kayakiste avec un kayak gonflable (par exemple) qui veut s’amuser le plus longtemps possible tout en se trimballant le moins possible son kayak dans le sac à dos. 

  • Modifié (10 Feb)
    En fait non, l’idée du sceau  seau n’est pas bonne car j’imagine que le but dans ce cas serait de porter le sceau seau rempli d’eau avec le moins de fatigue possible.
  • Moins de fatigue, n’est-ce pas le plus court chemin ?
    Tu chipotes, non ?
  • Modifié (10 Feb)
    Tu pars du point A avec le sceau seau vide j’imagine (pas vraiment fatiguant donc cela ne compte pas) et le plus court chemin se résume du point de contact de la rivière au point B quand on porte le sceau seau rempli. Ce n’est plus le  même exercice. Je ne chipote pas, je suis dans la vraie vie.  :D
    Édit: merci P. pour la correction :)
  • Sceau? Seau?
  • Bof. 
    Alors le seau au départ est plein d’eau à verser dans la rivière et il faut le remplir ensuite pour l’amener au bon endroit. 
    Chaque récit possède son biais… bof. La vraie vie n’existe dans aucun énoncé. 
    « Minimiser AM+MB » est moins poétique. 
  • Modifié (10 Feb)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Oui mais quand on parle de chemin le plus court, est-ce en distance ou en  temps de parcours? La modélisation proposée considère d'emblée que c'est en distance, mais ça ne me paraît pas évident. Et si c'est en temps, il faut tenir compte qu'avec le seau plein, on va moins vite qu'avec le seau vide.
  • On veut aller de $A$ à $B$  mais en profitant de se baigner parce qu'on est hédoniste, et en marchant le moins possible parce qu'on est paresseux.
    Ça vous convient ?!
  • Modifié (11 Feb)
    Mesdames et messieurs, un peu de sérieux.
    La question est intéressante, je la reformule ainsi : Étant donnés deux points A et B d'un côté d'une droite, trouver C un point sur la droite qui minimise AC+CB.
    Si un élève ne comprend pas la signification de " être dans un côté d'une droite", on lui explique qu'une droite partage un plan en deux demi-plan, et être d'un côté d'une droite signifie être dans le même demi-plan.
    Ma solution, qui peut être comprise par un collégien, est la suivante : Soit B' le symétrique de B par rapport à la droite D. Alors, quel que soit le point C sur la droite, les deux distances CB et CB' sont égales (théorème du cours). Donc, minimiser AC+CB revient à minimiser AC+CB'. Le point B' est de l'autre côté de la droite, donc le point C qui réalise ce minimum doit se trouver sur la droite AB'. L'unique point C est $D\cap AB'$
    Cordialement Farceur.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (11 Feb)
    Bonjour,
    c'est loin , plus de cinquante-cinq ans , on nous demandait le trajet de la lumière qui partait d'un point A pour arriver en un point B après réflexion sur un miroir représenté par une droite qui partageait le plan en deux demi-plans.
    Je me souviens aussi d'une histoire de pigeons qui devaient aller du haut d'une tour (en A) et qui devaient rejoindre le sommet d'une autre tour (en B ) en passant par le sol et en minimisant leur trajet.
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • Modifié (11 Feb)
    Le problème de l’énoncé est ce ’’passer par la rivière d’’ qui peut s’interpréter par ’’longer la rivière’’. Si on m’indique ’’passez la rivière’’ je comprends que je dois traverser la rivière mais si on me dit  ’’passez par la rivière’’ j’ai un doute personnellement. 
    Ici l’interprétation est claire uniquement car on fait des simulations avec geogebra. 
    Si on donnait cet énoncé sans ces simulations je ne serais pas surpris que des élèves tracent les perpendiculaires à (d) passant par A et B avec en tête le kayakiste par exemple. 
    La vraie vie n’existe dans aucun énoncé. D’accord mais on peut parler de réalisme à défaut de situation courante. J’ai beau avoir de l’imagination je ne vois pas l’intérêt de porter un seau d’eau jusqu’à une rivière pour jeter cette eau dans la rivière.
    La variante de l’hédoniste me convient mieux.  :) ainsi que la solution donnée par gebrane. Il y a peut-être une partie des élèves qui refuseront cette solution car AC+CB=AC+CB’ mais CB’ est ’’impossible’’ (la rivière est infranchissable). 
    Pour le doute pour ceux qui ont ’’trouvé’’ après l’indication ce serait intéressant de connaître l’origine de ce doute (méconnaissance probable du cours pour l’égalité BC=CB’, blocage ’’psychologique’’ avec cette rivière infranchissable dans leur tête etc).
  • Une fois ces questions réglées, je suis certain que l’immense majorité n’aura pas saisi la démonstration. Que l’on y passe du temps ou pas.
  • La vraie question, c’est : que demander aux élèves ? On leur donne le problème. 29 sur 30 répondent : « Je ne sais point, je ne comprends pas. » en attendant sagement. L’un d’eux a trouvé, on l’aide discrètement à reformuler sa démonstration. Puis on présente la solution rédigée à la classe. 

  • ok pour "Étant donnés deux points $A$ et $B$ d'un côté d'une droite, trouver $C$ un point sur la droite qui rende le plus petit possible $AC+CB$." (il est vrai que pour faire $2+2$, il y a bien longtemps que l'élève ne doit plus penser à deux pommes + deux pommes.) On peut d'ailleurs commencer par demander aux élèves ce qui se passe si $A$ et $B$ sont du même côté de la droite. Par ailleurs, j'ai trouvé une autre façon de tenter de convaincre les élèves: leur rappeler que la symétrie axiale suivant $d$ consiste à faire tourner une feuille de papier autour de $d$ d'où $CB=CB'$ qui devient alors évident même pour ceux qui n'ont pas appris leur cours.
  • Modifié (11 Feb)
    Bien vu, stfj, la façon d'expliquer en pliant une feuille.
    Maintenant, pour tes élèves les plus brillants, on complique un peu. On remplace la droite par la courbe de la valeur absolue, et on va dire qu'un point M(x,y) est à l'intérieur de la courbe de la valeur absolue si \( y \geq |x| \).
    Question : Étant donnés deux points A et B à l'intérieur de la courbe de la valeur absolue, trouver C un point sur la courbe de la valeur absolue qui minimise AC+CB.
    Ajout Pour les élèves de Dom, il peut faire l'expérience de remplacer la valeur absolue par la courbe $y=x^2$
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (11 Feb)
    Cet exercice est donné dans la même page du sésamath, @gebrane, où l'on prend deux rivières. Il y a aussi un exercice avec un billard et il faut passer par deux bandes du billard. Beaucoup d'élèves ont trouvé assez rapidement les solutions aux deux exercices après celui proposé ici. En fait, je suis parti de ces deux exercices pour tenter de montrer aux élèves qu'en simplifiant un problème (celui des deux rivières), on pouvait trouver des angles d'attaque intéressants pour le problème initial (celui d'une rivière). Au moins, à défaut de comprendre l'intérêt de la démonstration proposée par l'enseignant, plusieurs élèves auront éprouvé la pertinence de la simplification d'un problème pour le résoudre. De toute façon, pas de moyen de couper à des exercices tels que celui-ci. Sinon, les élèves intéressés finissent par s'ennuyer, ceux que ne sont pas intéressés continuent à s'ennuyer, et moi aussi...
  • Tu fais de belles choses avec tes élèves .  Tu peux les intéresser par les points bonus :smiley:
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (11 Feb)
    Bonjour
    Je suis surpris voire choqué par le titre de cette intervention et par les deux citations données ensuite (celles de Weil et de Von Neumann)
    On ressent un malaise à lire ce genre de message sur un site consacré à la recherche et à la pédagogie mathématique.
    Comme prof de math je préfère dire :
    "beaucoup d'enfants sont capables de comprendre les mathématiques"
    "la mathématique possède cette particularité de pouvoir être comprise par des non mathématiciens"
    "on comprend les mathématiques lorsqu'on est habitué à elles".
    À propos de "stfj" qui se cache derrière ce pseudo illisible ? est-ce un robot ?
    Cordialement.
  • Modifié (11 Feb)
    Je préfère les observations réalistes des maîtres Weil et Von Neumann aux bla-bla bisounours égalitaristes genre « tout le monde il est beau, tout le monde il est gentil ».
  • DomDom
    Modifié (11 Feb)
    Je mentionne ici un autre exercice qui utilise l’inégalité triangulaire (mais pas la symétrie). 
    On est sur un pavé droit et on doit se rendre d’un sommet au sommet opposé mais en restant sur le pavé droit (les bases et les faces latérales). 
    L’idée est de réaliser un patron, puis de le mettre à plat, de tracer le chemin (avec un peu de chance le patron le permet) par un segment puis de reconstituer le pavé. 
    Pour la recherche de la position de chaque point sur les arêtes rencontrées, de mémoire Thalès fait le travail. 

    Édit : peut-être d’ailleurs que selon le patron, on « voit » le bon chemin. Il existe parfois plusieurs trajets de même longueur. 
  • Un problème analogue de trajet minimum, dans Le Petit Archimède, décembre 1975 :  http://lepetitarchimede.fr/pa/PA21-22.pdf, p. 33.
  • Modifié (11 Feb)
    Il y a un joli livre sur les problèmes élémentaires de maximums et minimums, du regretté Ivan Niven (1915-1999) : Maxima and Minima Without Calculus, The MAA, 1981. https://archive.org/details/maxima-and-minima-without-calculus-ivan-niven-lester-h.-lance
    Par exemple, soit un plan séparé en deux demi-plans par une droite $D$. Je veux aller d'un point $A$ à un point $B$ situés respectivement dans chacun des deux demi-plans ouverts, en suivant une trajectoire formée de deux segments de droite $AM$ et $MB$, où $M$ est un point de $D$.  Dans le demi-plan de $A$, je vais à la vitesse $V_1$ et dans le demi-plan de $B$, je vais à la vitesse $V_2$. Trouver la trajectoire qui réalise la durée minimum. On aura reconnu la loi de la réfraction, de même que le problème initial concernait la réflexion.
  • Modifié (11 Feb)
    Pour en revenir à l'intitulé de ce fil, il est exact. Les « mathématiques », ce vocable doit désigner la science mathématique spéculative, qui commence à la démonstration d'assertions générales. Autrefois, on ne considérait pas qu'on faisait des  « mathématiques » à l’école primaire, on faisait du calcul et de la géométrie, un point c'est tout, ce qui n'est déjà pas si mal. Tout le monde n'est pas fait pour faire des mathématiques, et tout le monde n'en pas envie, et ceux qui n'en ont pas envie, mieux vaut les orienter de telle manière qu'ils ne soient pas contraints d'en faire. En conséquence, en finir avec le collège unique.
  • Un exercice sur le thème du billard, rectangle ABCD : partant du point A, où la bille doit-elle toucher le bord CD pour qu'elle touche dans l'ordre les bords CD, BC, AB puis DA ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (12 Feb)
    @Dom
    Je me souviens avoir vu l'exercice qui nécessite le patron d'un parallélépipède rectangle vers 1995. Peut-être dans un problème Kangourou.
    L'habillage était, une araignée voulait rejoindre une mouche dans une pièce d'une maison. Je crois que je l'avais donné dans un devoir maison à mes élèves.
  • Il y a aussi le problème de la fourmi sur un cylindre. Pour le résoudre on fait un patron comme le problème avec le pavé droit. Mais la conservation de la minimalité du trajet est moins évidente (elle est toujours admise bien sûr). Pour être rigoureux il faudrait je crois parler de difféomorphisme.
  • En parcourant le texte de Niven fourni par @Chaurien, on retrouve le problème en 3.5.
  • @Fin de partie
    Est ce que c'est ça le problème araignée-mouche ou puceron-fourmi ?
    Cela a été demandé l'année dernière pour des défis mathématiques en 6ème.
  • Modifié (12 Feb)
    Bonjour,
    Je ne sais pas si ça peut servir car beaucoup plus difficile puisqu'il faut trouver un point maximisant la distance la plus courte, j'avais proposé
    Une araignée est enfermée dans un placard que l'on peut assimiler à un pavé droit de base 1m $\times$ 1m et de hauteur 2m.
    Elle peut se déplacer sur n'importe quelle face y compris le plafond à la vitesse approximative de 0,5m/sec (moment culture générale : le record obtenu par la tégénaire géante est de 0,53m/sec).
    Notre objectif est de conseiller un moustique, également enfermé dans le placard, qui aimerait bien se poser le plus loin possible de l'araignée pour se reposer un peu sans se faire manger.

    1) Lorsque la position initiale de l'araignée est dans un des coins du placard, quel est le temps maximum de repos du moustique ?
    2) Dans la position initiale de l'araignée la plus favorable au moustique, quel est le temps maximum de repos du moustique ?

    On considérera que l'araignée ne bouge pas tant que le moustique est en vol, qu'elle atteint directement la vitesse maximale dès que le moustique se pose, qu'elle se dirige vers lui par le chemin le plus court, que les changements de faces ne changent pas la vitesse, que le moustique s'envole au moment même où l'araignée arrive...
    Bref, on fait une modélisation tranquille pas du trop réaliste
    Vous trouvez les solutions de GaBuZoMeu et verdurin https://www.ilemaths.net/sujet-araignee-dans-le-placard-875203.html#msg7996489
    Je vous conseille d'essayer avant de regarder les réponses, vous aurez peut-être des surprises.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • Modifié (13 Feb)
    @Jaymz:
    Oui, cela y ressemble fort. Je crois que j'avais trouvé cet exercice dans un concours Kangourou ou une autre épreuve du même type dans les années 90, ou à moins que  ce fût dans un manuel de cours.
    Cela fait partie du foklore des mathématiques, comme l'exercice mentionné dans le premier message de ce fil.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!