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Une suite géométrique basée sur $\sin x$

Modifié (10 Feb) dans Analyse
Bonjour,
Montrer que chaque arche $[n\pi, (n+1)\pi]$ de la courbe $y = \sin x$ contient un point $M_n(x_n, y_n)$ et un seul tel que la tangente en ce point passe par l'origine ; déterminer un équivalent géométrique de $M_n$ ; donner un développement asymptotique de $x_n$.
A+
Cosinus, cosine, cosinum, cosini, cosino, cosino, cosini, cosini, cosinos, cosinorum, cosinis, cosinis

Réponses

  • C'est un joli exercice. Je trouve $$x_n = n\pi+\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{n\pi}+o(1/n).$$
    Je laisse les courageux poursuivre :)
  • RE
    $x_n = n\pi + \frac \pi 2 - \frac 1 {\pi n} + \frac 1 {2\pi n^2} + ...$ (sauf erreur de ma part).
    Que les masochistes continuent !...
    A+
    Cosinus, cosine, cosinum, cosini, cosino, cosino, cosini, cosini, cosinos, cosinorum, cosinis, cosinis
  • Modifié (10 Feb)
    J'aime bien la façon de poser l'exercice, elle donne une motivation pour étudier la relativement classique suite définie par $x_n=\tan x_n$ et $n\pi-\frac\pi2\le x_n\le n\pi+\frac\pi2$.
    On trouve les termes suivants ici.
  • $x_n=n\pi +\pi/2 -1/(n\pi) +1/(2n^2\pi) - (8+3\pi^2)/(12n^3\pi^3) + (1/\pi^3 +1/(8\pi))/n^4 + o(1/n^4)$ 
  • Modifié (11 Feb)
    En effet, c'est un très joli habillage pour ce problème bien connu, utile à poser en MPSI. 
    On peut aussi trouver la somme $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{x_{n}^{2}}$, qui est $\frac{1}{10}$ (remarquable simplicité), et aussi $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{x_{n}^4}$, etc. 
    On en a certainement déjà parlé sur ce forum.
  • RE
    On pourrait effectivement faire un joli petit problème en partant de cet exercice, très intéressant et d'un niveau ni trop bas ni trop élevé.
    Heureux qu'il vous ait plu !
    Au suivant !...
    Cosinus, cosine, cosinum, cosini, cosino, cosino, cosini, cosini, cosinos, cosinorum, cosinis, cosinis
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