Intégrales

LoloDJ
Modifié (9 Feb) dans Analyse
Soit $F$ la fonction définie par
$F(x)=\displaystyle \int_{0}^{x\sqrt{3}} \frac{2}{\sqrt{1+4t^2}} \, \mathrm{d}t$
1. Montrer que $F$ est une fonction définie, impaire et dérivable sur $\mathbb{R}$. Calculer $F'(x)$
2. Montrer que F admet une fonction réciproque $F^{-1}$ sur $\mathbb{R}$. Vérifier que
$\forall x\in \mathbb{R}, F^{-1}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{4\sqrt{3}}$
3. Tracer dans un repère orthonormé la courbe $C$ représentative de $F^{-1}$ puis la courbe représentative de $F$
4. Vérifier que
$\forall x\in \mathbb{R}, F(x)=\ln{(2x\sqrt{3}+\sqrt{12x^2+1})}$

Est-ce que quelqu'un a une idée pour la question 2 ? On voit bien que $F$ est strictement croissante mais comment montrer qu'elle tend vers plus l'infini ?
Et comment vérifier que l'expression donnée est la bonne ? J'ai pensé utiliser l'expression de la dérivée avec $F^{-1'}(y)=\frac{1}{F'(x)}$ mais je ne vois pas comment l'exploiter.
En revanche la question 4 est facile : suffit de dériver et de montrer qu'on retombe sur l'expression trouvée en 1 et de vérifier que l'expression s'annule bien pour $x=0$ comme $F$.

Réponses

  • Math Coss
    Modifié (9 Feb)
    Pour montrer que $F^{-1}$ tend vers l'infini en l'infini, il suffit de montrer que $F$ elle-même tend vers l'infini en l'infini. Pour cela il suffit de la minorer par une fonction $g$ qui tend vers l'infini ; pour cela on peut minorer (facilement) l'intégrande de $F$ (la fonction intégrée) par une fonction simple et proche de l'intégrande dont on sait calculer une primitive.
    Si ça t'intéresse et si tu mets une esquisse de dessin pour la question 3 (photo de courbe tracée sur papier par exemple) je mets une figure propre.
  • ah mais oui, merci, en fait j'ai réussi, c'est archi simple effectivement.
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