Pourquoi faire compliqué ?

UItraviolet

Bonjour, toujours dans mon exploration du Gourdon je tombe sur cette question : 


Pour la question b), sachant que le résultat de la a) est ré-utilisé, ne peut-on pas juste extraire une sous-suite convergente de $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$, disons qu'elle converge vers $x$, alors par continuité de $f$, on montre que cet $x$ est un point fixe, et là pas le choix il doit forcément être égal à $\alpha$ ?

Voilà la correction (j'ai aussi mis celle de la sous-question a)) : 


Merci d'avance pour vos explications,

gebrane

Juste cette phrase on montre que cet x  est un point fixe .

Comment ? Il semble que tu aies foi que si \((x_{\phi(n)})\) tend vers \(x\), alors aussi \((x_{\phi(n)+1})\) tend vers \(x\).

UItraviolet

En effet, c'est complétement faux. Encore merci pour cet énième recadrage. 

Syntax_Error

Etant donné une suite $(x_{\sigma(n)})$extraite de $(x_n)$, tu ne vas a priori pas avoir $x_{\sigma(n+1)} = f(x_{\sigma(n)})$, à moins que $x_{\sigma(n+1)}$ ne soit égal à $x_{1+\sigma(n)}$.... En fait on va avoir, en notant $(y_n)$ cette sous suite: $y_{n+1} = f^{\sigma(n+1) - \sigma(n)}(y_n)$, de la forme $y_{n+1} = g_n(y_n)$, ce qui ne te permet pas d'appliquer de manière simple et immédiate l'unicité du point fixe de $f$.

Titi le curieux

Bonjour,

  Sinon, tu peux directement utiliser la notion d'adhérence plutôt que des suite extraites.

  La suite $u$ est décroissante et minorée, donc elle converge. Cela implique que tout les points de l'adhérence de la suite $x$ sont tous à la même distance de $\alpha$.

 Par ailleurs l'adhérence de $x$ est stable par $f$. On en déduit que pour tout élément $a$ de l'adhérence de $x$ on a $d(a,\alpha) = d(f(a), \alpha) = d(f(a),f(\alpha))$, en contradiction avec l'hypothèse sauf si $a = \alpha$.