Trace, déterminant et groupe de Lie

Mister Da

Bonjour,
je viens seulement de faire un lien entre deux choses que je connaissais et je viens ici m'assurer que je ne délire pas.

De manière générale, soit $\varphi\colon G\to H$ un homomorphisme de groupes de Lie ($G$ et $H$). On note $\varphi_*$ sa dérivée en l'identité, alors $ \exp\circ\varphi_* = \varphi\circ\exp $. C'est-à-dire que le diagramme suivant commute \[
    \xymatrix@C=4em@R=4em{
        \mathfrak{g}    \ar[d]_{\exp}\ar[r]^{\varphi_*}     & \mathfrak{h}\ar[d]^{\exp}    \\
        G                 \ar[r]^{\varphi}                    & H                            \\
    }
    \] D'autre part, je connais la formule $\det(\exp(M)) = \exp(\operatorname{trace}(M))$ pour toute matrice carrée $M$.

Ce que je viens de réaliser c'est que si on prend $G=\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ alors son algèbre de Lie est $\mathfrak{g} = \operatorname{Mat}_n(\mathbb{C})$ avec le commutateur de matrice comme crochet de Lie et si on prend $H=\mathbb{C}^*$ avec comme algèbre $\mathfrak{h} = \mathbb{C}$ avec le crochet trivial comme crochet de Lie. Enfin on prend $\varphi = \det$ alors sa différentielle en l'identité est $\varphi_* = \operatorname{trace}$ et la formule est alors obtenue.

Pour le cas réel, $G=\operatorname{GL}_n^+(\mathbb{C})$ (matrices de déterminant strictement positif) et $H=\mathbb{R}^*_+$ (réels strictement positifs).

Est-ce que vous pourriez me confirmer que ça tient la route ?
Merci par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da

Barjovrille

Bonjour, oui ce sont des bons exemples qui illustre la commutativité du diagramme (je n'ai pas vérifié que le diagramme commute je te fais confiance). Pour tes exemples les points les plus délicats (mais ici ça va je pense) c'est de déterminer l'algèbre de lie à partir du groupe de Lie. Et de calculer les différentielles selon les définitions que tu as. Je n'ai pas vérifié en détail mais ça m'a l'air cohérent.

Mister Da

Bonjour,

merci beaucoup pour ta confirmation.

Concernant les calculs je ne les ai pas mis car c'est juste long et pas trop intéressant à écrire mais je suis plutôt assez confiant.

Ce qui me mettait le doute, c'est que j'avais ces deux résultats sous le nez (dans des contextes différents) depuis pas mal de temps et que je n'avais jamais fait de liens et du coup j'ai eu une doute entre le fait que ça soit une évidence et que j'enfonce une porte ouverte (ce qui est essentiellement une partie de mon quotidien) et que ça soit tout simplement faux à cause d'un détail (ce qui est l'autre partie de mon quotidien).

Cordialement,

Mister Da

GaBuZoMeu

Bonjour,

Ne trouve-t-on pas à peu près ça dans le livre de Mneimné-Testard (excellent, bien que contenant quelques coquilles) ? Je ne l'ai pas sous la main.

Mister Da

Bonjour,

merci pour la référence, j'irai la (re)voir. J'ai probablement déjà ouvert ce livre un jour mais il y a tellement de résultats sur le sujet que je me perds très souvent.
Cordialement,
Mister Da