Mesure des angles

GG

Il semblerait qu'il y ait consensus pour dire que la mesure des angles ne peut pas être abordée sérieusement en géométrie élémentaire et qu'elle nécessite, pour être définie rigoureusement, l'analyse et l'incontournable exponentielle complexe. 

Cela m'a toujours intrigué qu'une notion géométrique aussi élémentaire et intuitive ne puisse pas s'étudier correctement par des moyens élémentaires. Récemment et à mes moments perdus (qui sont nombreux), je me suis penché sur la question, et à ma surprise, j'ai découvert qu'on pouvait parfaitement traiter cette mesure des angles à l'aide seulement de l'axiome de la borne supérieure et de quelques notions basiques de topologie. Il est possible que je me trompe et je compte sur vous pour débusquer les bêtises que je n'ai pas manqué d'écrire (c'est la raison de ce message) et les éventuelles difficultés (rédhibitoires ?) que j'aurais involontairement (ou non) glissées sous le tapis ! Voici un résumé dont je tiens à disposition des démonstrations plus détaillées.

1) Les angles

Soit $\mathcal B$ le quotient de l'ensemble des angles non orientés (les paires de demi-droites de même origine) par la relation d'équivalence "$\alpha$ et $\beta$ sont isométriques" et $\mathcal A$ le quotient de l'ensemble des angles orientés (les couples de demi-droites de même origine) par la relation d'équivalence "$\alpha$ et $\beta$ sont directement isométriques" (produit d'un nombre pair de réflexions). Je parlerai d'angles non orientés égaux et d'angles orientés congrus et dans les prochains paragraphes, le mot "angle" non qualifié sera synonyme d'angle non orienté.

2) L'addition des angles

Soit trois demi-droites de même extrémité. On dit que la première est entre les deux autres lorsqu'un segment, et par suite tous, ayant ses extrémités sur ces deux demi-droites rencontre la première.

On munit $\mathcal B$ d'une addition non partout définie, associative, commutative, dont le neutre est l'angle nul (la somme est définie lorsque les représentants choisis pour la construction sont deux angles adjacents, c'est-à-dire ayant un côté commun entre les deux autres).

La loi est simplifiable, ce qui permet de définir une soustraction partielle.

On munit $\mathcal A$ d'une addition qui en fait un groupe commutatif, le groupe des angles (isomorphe au groupe des rotations autour d'un point).

On a $aPb + bPc = aPc$

3) La relation d'ordre des angles non orientés

Soit $Ox$ une demi-droite et $\Pi$ l'un des deux demi-plans de frontière $Ox$ (ce qui fixe une orientation du plan).

Soit $Ox'$ la demi-droite opposée de $Ox$, $X$ et $Z$ deux ponts distincts de $O$ respectivement sur $Ox$ et $Ox'$, et $Y$ un point de $\Pi$ hors de la frontière.

Pour tout angle, il existe un unique angle égal $xOa$ contenu dans $\Pi$, et d'après l'axiome de Pasch, la demi-droite $Oa$ coupe la ligne polygonale $XYZ$ en un point $P$. On a donc une bijection entre $\mathcal B$ et l'intervalle $[0, k]$ des "abscisses" de $P$ ($XP$ si $P \in [XY]$et $XY+YP$ si $P \in [YZ]$) sur la ligne polygonale $XYZ$ (avec $k = XY + YZ$) qui permet de transporter sur $\mathcal B$ la structure d'ordre de $[0, k]$ induit par celui de $\mathbf R$.

On dispose ainsi sur $\mathcal B$ d'un ordre total dont l'angla nul est le plus petit élément, l'angle plat $\omega$ le plus grand, et pour lequel toute partie de $\mathcal B$ possède une borne supérieure et une borne inférieure.

La relation $\alpha \leqslant \beta$ équivaut à "il existe $\gamma$ tel que $\beta = \alpha + \gamma$".

Il en résulte que la relation d'ordre sur $\mathcal B$ ne dépend pas du choix de $Ox$ et $\Pi$, et qu'elle est compatible avec l'addition.

4) La mesure des angles non orientés

La bissectrice d'un angle définit l'angle moitié.
Pour tout angle $\alpha > 0$, il existe un entier naturel $n$ tel que $2^{-n} \omega < \alpha$.
$\square$ Soit $\varepsilon = \inf $ $ \{2^{-n} \omega \mid n \in \mathbf N \}$. Comme $\alpha \mapsto \alpha/2$ est une bijection strictement croissante de $ [0, \omega]$ sur $[0,\omega/2]$,

$\varepsilon/2 = \inf $ $\{2^{-n} \omega \mid n \in \mathbf N^* \}$ d'où $\varepsilon = \varepsilon/2$ et $\varepsilon = 0$. $\square$
Appelons mesure arithmétique des angles toute application $\varphi : \mathcal B \rightarrow \mathbf R_+$ strictement croissante et additive, c'est-à-dire telle que $\varphi(\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta)$ chaque fois que $\alpha + \beta$ est défini.
Soit $D$ l'ensemble des angles de la forme $k2^{-n}\omega$ où $k$ et $n$ sont deux entiers naturels vérifiant $k \leqslant 2^n$.
Soit $p > 0$ un nombre réel.
Notons $\psi : D \rightarrow \mathbf R_+$ l'application $k2^{-n}\omega \mapsto k2^{-n}p $. Elle est bien définie, strictement croissante et c'est un un morphisme.
Il existe une unique mesure arithmétique $\varphi$, appelée $p$-mesure arithmétique, telle que $\varphi(\omega) = p$. Elle prolonge $\psi$ et c'est un isomorphisme de $\mathcal B$ sur $[0, p]$ pour l'ordre.
La $\pi$-mesure s'appelle parfois la mesure naturelle, exprimée en radians.
Les $180$-mesure, $200$-mesure, $2$-mesure et $\frac{1}{2}$-mesure s'expriment respectivement en degrés (°), grades (gr), angles droits (D) et tours (T).

5) La mesure des angles non orientés bis

Une autre approche est basée sur la définition de la mesure comme longueur d'un arc de cercle.
Soit $R > 0$ un réel, $\Gamma$ le cercle de centre $O$ et de rayon $R$, et $XYZV$ le carré de périmètre $8R$ circonscrit à $\Gamma$ avec $X$ sur $Ox$, $Y$ dans $\Pi$, et $Z$ sur $Ox'$. Soit encore $\Gamma'$ le demi-cercle des points de $\Gamma$ situés dans $\Pi$.
Lemme. Soit $P$ et $Q$ deux points distincts du segment $XY$, $P$ entre $X$ et $Q$. Soit $M$ et $N$ les intersections respectives des segments $OP$ et $OQ$ avec $\Gamma$.
On a $MN < PQ$.
On a vu au troisième paragraphe que l'on pouvait identifier, à l'aide de bijections, les angles avec les points de la ligne polygonale $XYZ$, ainsi qu'avec leurs abscisses prises dans $[0, 4R]$.
On peut maintenant rajouter l'identification avec les points du demi-cercle $\Gamma'$. Ces bijections sont des isomorphismes pour les relations d'ordre.
On note $x_P$ l'abscisse du point $P$ de $XYZ$ et également, par abus de notation, $x_{P'}$ l'abscisse du point $P$ de $XYZ$ qui s'identife avec le point $P'$ de $\Gamma'$.
Soit $P$ et $Q$ deux points de $\Gamma'$. On peut supposer $P < Q$.
On appelle arc de cercle d'extrémités $P$ et $Q$ et l'on note $\widehat{PQ}$ l'ensemble des points $T$ de $\Gamma'$ tels que $P  \leqslant T \leqslant Q$.
Soit $(P_i)_i$ une suite de points de $\Gamma'$ strictement croissante avec $P_0 = P$ et $P_n = Q$.
La réunion des segments $P_iP_{i+1}$ s'appelle une ligne poygonale inscrite dans l'arc de cercle $\widehat {PQ}$.
La longueur $L$ d'une ligne polygonale inscrite dans un arc de cercle est majorée par $4R$.
On peut maintenant définir la longueur $l(\widehat {PQ})$ de l'arc de cercle $\widehat{PQ}$ : c'est la borne supérieure des longueurs des lignes polygonales inscrites dans $\widehat{PQ}$ (et $0$ pour l'arc réduit à un point).
Soit $\varphi : \mathcal B \rightarrow \mathbf R_+$ définie par $\varphi(\alpha) = l(\widehat {PQ})$ où $P$ et $Q$ sont deux points de $\Gamma'$ tels que $POQ = \alpha$. C'est une mesure arithmétique.
Faisons $R = 1$.
$\varphi(\omega)$ est alors la longueur de l'arc $\Gamma'$, comprise entre $3$, le demi-périmètre de l'hexagone régulier inscrit dans $\Gamma$, et $4$, le demi-périmètre du carré $XYZV$. C'est le nombre $\pi$ et $\varphi$ est la $\pi$-mesure arithmétique.
Dans le cas général, des considérations très simples basées sur l'homothétie de centre $O$ et de rapport $R$ montrent que $\varphi$ est la $\pi R$-mesure arithmétique.

6) La mesure des angles orientés

À partir de maintenant, le mot "angle" non qualifié sera synonyme d'angle orienté.
Pour tout angle $\alpha$, il existe une unique demi-droite $Oa$ telle que $xOa$ soit congru à $\alpha$. Si $Oa$ est dans $\Pi$, on dit que $\alpha$ est positif, sinon qu'il est négatif.
Soit $Os$ et $Ot$ deux demi-droites. Dire que $Os$ et $Ot$ sont symétriques par rapport au support de $Ox$ équivaut à $xOt$ = - $xOs$.
Il en résulte que $0$ et $\omega$ sont les seuls angles congrus à leur opposés, et donc de double nul.
On conviendra de noter $\alpha / 2$ celui des deux angles dont le double est $\alpha$ et qui est positif ou $0$ si $\alpha = 0$.
Soit $\alpha = aPb$ un angle non orienté. On note $\alpha^+$ celui des deux angles orientés opposés $aPb$ et $bPa$ qui est positif si $\alpha$ est distinct de $0$ et de $\omega$, et $\alpha$ dans le cas contraire (en tant qu'angle orienté).
$\alpha \mapsto \alpha^+$ est une bijection de $\mathcal B$ sur l'ensemble des angles positifs et tout angle orienté $\alpha$ est de la forme $\beta^+$ ou de la forme $\omega + \beta^+$ ($\beta \in \mathcal B$).
Soit $\alpha$ et $\beta$ deux angles non orientés non nuls.
Lemme 1. Ou bien la somme $\alpha + \beta$ est définie, ou bien on peut décomposer $\beta = \beta' + \beta"$ avec $\alpha + \beta' =\omega$.
Lemme 2. Lorsque la somme $\alpha + \beta = \gamma$ est définie, $(\alpha + \beta)^+ = \alpha^+ + \beta^+$
Notons $B : \mathcal B \rightarrow \mathbf R_+$ la $p$-mesure arithmétique des angles non orientés.
La définition par la longueur des arcs de cercle suggère de l'étendre aux arcs de cercle associés aux angles négatifs en ajoutant une demi-circonférence aux petit arcs. On est ainsi conduit à définir une bijection $A : \mathcal A \rightarrow [0,2p[ $ en posant, pour tout angle $\alpha$
$A(\alpha) = B(\beta)$ lorsque $ \alpha$ est de la forme $\beta^+$ ($\beta \in \mathcal B$), et
$A(\alpha) = p + B(\beta)$ lorsque $\alpha$ est de la forme $\omega + \beta^+$ ($\beta \in \mathcal B$ et $0 < \beta < \omega$).

L'additivité de $B$ n'a lieu que pour les petits angles que l'on peut additionner. Contrairement à $\mathcal B$, $\mathcal A$ est un groupe et l'addition est partout définie. La question se pose de savoir si l'on peut trouver une mesure $m$ de $\mathcal A$ dans $\mathbf R_+$ qui soit additive. C'est malheureusement impossible car un tel morphisme devrait vèrifier $m(\alpha) = m(\alpha + 2\omega) = m(\alpha) + 2m(\omega)$, d'où $m(\omega) = 0$, ce qui est inacceptable. Ainsi $A$ ne saurait être additive. Cependant, il est intéressant de comparer $A(\alpha + \beta)$ et $A(\alpha) + A(\beta)$. Il y a six cas de figure à examiner selon que  $\alpha$ est de la forme $ \gamma^+$, $\beta$ de la forme $\delta^+$ et $\gamma + \delta$ est défini, ou non. On constate qu'il y a égalité dans trois cas et égalité à $2p$ près dans les autres, autrement dit, on a toujours

$A(\alpha + \beta) \equiv A(\alpha) + A(\beta) $ $ $ (modulo $2p $ $ $)

Il en résulte que l'application $m : \alpha \mapsto A(\alpha) + 2p\mathbf Z$ de $\mathcal A$ dans $\mathbf R / 2p\mathbf Z$ est un morphisme.

C'est même un isomorphisme puisque $A$ est une bijection de $\mathcal A$ sur $[0,2p[$ qui est un système de représentants de $\mathbf R / 2p\mathbf Z$.

On appelle $m$ la $p$-mesure des angles orientés.

Notons $\overline p$ la classe $p + 2p\mathbf Z$.

$m$ applique $\omega$ sur $\overline p$ et $\omega / 2 $ sur $\overline {p/2}$.

$-m$ est un autre isomorphisme qui applique $\omega$ sur $\overline p$ et $\omega / 2 $ sur $-\overline {p/2}$.

Un élément de $m(\alpha)$ s'appelle $une$ mesure de $\alpha$.

$A(\alpha)$ s'appelle la mesure arithmétique de $\alpha$.

$]-p, p]$ est un autre système de représentants. $P(\alpha) = A(\alpha)$ ou $P(\alpha) = A(\alpha) - 2p $ $ $ selon que $\alpha$ est positif ou négatif s'appelle la mesure principale de $\alpha$.

$P$ est une autre bijection, de $\mathcal A$ sur $]-p, p]$ plus naturelle que $A$ puisque les angles négatifs sont ceux qui ont une mesure principale inférieure à $0$.

Pour tout angle $\alpha$, $m(\alpha) = \overline{A(\alpha)} = \overline{P(\alpha)}$.

Le produit $m^{-1} \circ q$ de la surjection canonique $q$ de $\mathbf R$ sur $\mathbf R /2p\mathbf Z$ par l'isomorphisme réciproque de $m$ est un morphisme surjectif de $\mathbf R$ sur $\mathcal A$ qui applique $p$ sur $\omega$ et $p/2$ sur $\omega / 2$. Son noyau est $2p\mathbf Z$.

On peut le noter $Angle : \mathbf R \rightarrow \mathcal A$.
Il est périodique et sa période, i.e. le plus petit réel positif $T$ tel que $Angle(x+T) = Angle(x)$, vaut $2p$.

$Angle(x)$ est l'angle dont une mesure vaut $x$.

7) La continuité des mesures d'angle

Les considérations précédentes permettent déjà de traiter correctement bien des problèmes de géométrie élémentaire, tous ceux qui ne font pas intervenir la continuité de la mesure d'angle. Par correctement j'entends : sans être tenté d'invoquer la formule magique "On voit sur la figure que ..", remplacée dans mon laïus par l'axiome de Pasch et l'usage répété de celui de la borne supérieure.

Mais pour aller plus loin, il faut s'autoriser le b-a-ba du langage de la topologie.

L'unicité de la $p$-mesure $B$ des angles non orientés repose sur sa croissance et l'ordre sur $\mathcal B$. Mais il n'y a pas d'ordre naturel sur $\mathcal A$, ni sur $\mathbf R / 2p\mathbf Z$ et l'on n'a pas encore envisagé l'unicité de $m$ qui n'est certainement pas le seul isomorphisme de $\mathcal A$ sur $\mathbf R / 2p\mathbf Z$ à appliquer $\omega / 2 $ sur $\overline {p/2}$.
En munissant $\mathcal B$ de la topologie de l'ordre, on constate que le morphisme $\psi : D \rightarrow \mathbf R_+$ défini précédemment est continu et que $D$ est dense dans $\mathcal B$. Il en résulte que l'unique prolongement continu de $D$ à $\mathcal B$, qui est strictement croissant et additif, n'est autre que $B$.

La $p$-mesure $B$ est ainsi l'unique application de $\mathcal B$ dans $\mathbf R_+$ additive et continue qui applique $\omega$ sur $p$.

L'application $d(a, b) = \min \mid x - y \mid$ pour $x \in a$, $y \in b$ est une distance sur $\mathbf R /2p\mathbf Z$ qui en fait un espace métrique.

On peut transporter cette structure et celle d'ordre de $]-p, p]$ au moyen des bijections $m$ et $P$ et rendre ainsi isomorphes $\mathcal A$, $\mathbf R /2p\mathbf Z$ et $]-p, p]$ aussi bien pour la structure métrique, que celle de l'ordre.

La $p$-mesure $m$ est trivialement bicontinue.

Dans ce qui suit, on se place dans $]-p, p]$ et $r$ désignera un réel strictement positif.

On note $B(x, r)$ la boule ouverte centrée sur $x$ et de rayon $r$.

Pour tout $x \neq p$ et tout $r < p $ $ -\mid x \mid $, $B(x, r) = $ $ ]x-r, x+r[$.

Pour tout $r < p$, $B(p, r) = $ $ ]r, p]$ $ \cup $ $ ]-p, -r[$.

Par isomorphisme, on a les mêmes boules dans $\mathcal A$ en remplaçant $p$ par $\omega$ et $r$ par $P^{-1}(r)$ dans les formules.

On constate que la topologie induite sur $]-p, p[$ (resp. sur $\mathcal A \backslash \{\omega\} $) est celle de l'ordre.

La surjection canonique $q$ de $\mathbf R$ sur $\mathbf R /2p\mathbf Z$ étant continue, l'application $Angle =  m^{-1} \circ q$ est un morphisme surjectif continu de $\mathbf R$ sur $\mathcal A$ de période $2p$.

Les morphismes surjectifs continus de $\mathbf R$ sur $\mathcal A$ sont périodiques. $Angle$ et $-Angle$ sont les seuls de période $2p$.

$\square$ Soit $\varphi$ un tel morphisme. Son noyau $\varphi ^{-1} (0)$ est fermé et n'est ni $\mathbf R$, ni $0$. C'est donc $a \mathbf Z$ pour un certain $a > 0$.

$\varphi$ est périodique de période $a$. Supposons $a = 2p$.

$2\varphi(p) = 0$, d'où $\varphi(p) = \omega$.

$2\varphi(p/2) = \omega$. On peut supposer $\omega/2 = \varphi(p/2)$. Si $\omega/2 = -\varphi(p/2)$, on poursuit le raisonnement avec $-\varphi$ à la place de $\varphi$.

On considère maintenant l'isomorphismes canoniques de $\mathbf R/ ker $ $ Angle$ sur $Im $ $ Angle$ et celui de $\mathbf R/ ker $ $ \varphi$ sur $Im $ $ \varphi$, à savoir $m ^{-1}$ et un isomorphisme $\psi$ de $\mathbf R /2p\mathbf Z$ sur $\mathcal A$, et on va montrer qu'ils coïncident. On identifie $m ^{-1}$ et $\psi$ à deux isomorphismes de $]-p, p]$ sur $\mathcal A$ et on s'intéresse à leurs restrictions à $[0, p]$.

$\psi(p/2)$ étant positif, toutes les images de la restiction de $\psi$ le sont aussi, sinon $\psi$, qui est continue, s'annulerait sur un point de $]0, p[$.  

$m ^{-1}$ et $\psi$ coïncident dans $\{kp2^{-n} \mid 0 \leqslant k \leqslant 2^n \}$ qui est dense dans $[0, p]$. Par continuité, elles coïncident dans $[0, p]$ et finalement dans tout $]-p, p]$. $\square$

La $p$-mesure $m$ est le seul isomorphisme continu de $\mathcal A$ sur $\mathbf R / 2p\mathbf Z$ qui applique $\omega / 2 $ sur $\overline {p/2}$.

$\square$ Un tel isomorphisme $n$ s'identifie à une bijection continue de $]-p, p]$ sur lui-même. $n^{-1}$ est donc continue.

$n^{-1} \circ q$ est de période $2p$ et applique $p/2$ sur $\omega/2 $. C'est donc le morphisme $Angle$, d'où $n^{-1} = m^{-1}$ et $n = m$. $\square$

Tout morphisme surjectif continu de $\mathbf R$ sur $\mathcal A$ est de la forme $x \mapsto \varphi(kx)$ où $\varphi$ est l'un d'eux ($k \neq 0$).

$\square$ On a vu que $\varphi$ était périodique. Notons $2p$ sa période. C'est donc $Angle$ ou $-Angle$.

Soit $\psi$ un autre de ces morphismes, de période $2q$.

Pour tout réel $k \neq 0$, $x \mapsto kx$ est un automorphisme continu de $\mathbf R$ et $x \mapsto \psi(kx)$ est encore un morphisme surjectif continu de $\mathbf R$ sur $\mathcal A$, de période $2q/k$ si $k > 0$.

$x \mapsto \psi(\frac q p x)$, de période $2p$, est donc $\varphi$ ou $-\varphi$, et $\psi(x) = \varphi(\frac p q x)$ ou $\varphi(-\frac p q x)$. $\square$

8) Conclusion

Voici ce qu'écrivait G. Choquet en 1964 dans "L'enseignement de la géométrie", à propos des représentations $\varphi$ (les applications continues $\varphi$ de $\mathbf R$ sur le groupe additif des angles $\mathcal A$ telles que $\varphi(x + y) = \varphi(x) + \varphi(y)$ ) :

"On admettra dans l'enseignement élémentaire de la géométrie qu'il existe une telle représentation $\varphi$ et que toutes les autres sont celles que nous venons de lui associer. [$x \mapsto \varphi(kx)$]
Il n'existe aucune démonstration élémentaire de ce fait ; l'honnêteté exige donc qu'on l'énonce explicitement sans prétendre le démontrer; on le rendra plausible par des schémas du genre "fil enroulé autour d'un cercle"."

jean lismonde

Bonjour

La mesure des angles obéit tout simplement à un souci cadastral
de reproduction sur des registres des champs et parcelles de terrain

les Mésopotamiens qui utilisaient un système numérique de base 60 
ont compris que les angles importants : un droit, un demi droit, un tiers de droit, deux droits
devaient être repérés simplement d'où : 60°, 90 °, 120°, 180°, 45°, 30°, 

l'origine du radian est plus difficile à expliquer ; elle est liée à l'analyse élémentaire
et à la limite du rapport sin(x)/x égale à 1 lorsque x tend vers 0
et les développements limités de toutes les fonctions circulaires
supposent pour être simples et utilisables l'usage du radian

les physiciens utilisent les deux unités de mesure d'angles: ils ont raison
même si en math on préfère logiquement le radian avec les multiples et sous-multiples de pi

Cordialement

nicolas.patrois

Probablement religieux (astrologique/astronomique) avant même l’aspect cadastral.

gerard0

GG, es-tu allé voir comment les angles sont traités dans la géométrie synthétique façon Hilbert ?
Cordialement.

GG

Salut gerard0,
non, je n'y ai pas pensé. J'ai lu "Les fondements de la géométrie" il y a bien longtemps, mais si Hilbert avait abordé la question de la mesure des angle, je ne l'aurais probablement pas oublié, vu que cette question m'a toujours intrigué. Je l'ai donc rouvert et vérifié qu'il n'en parle pas. Il faut dire que Hilbert a développé les notions de géométrie seulement jusqu'au point utile à son propos qui était surtout d'étudier la complétude et l'indépendance des groupes d'axiomes qu'il s'était choisi. Pour ce faire, il a construit de nombreux modèles de géométrie, certains sophistiqués s'appuyant sur des corps non-archimédiens ou l'exponentielle complexe et les fonctions trigonométriques, mais il ne parle jamais de mesure des angles.


Merci AD, on est entre de bonnes mains (pour l'orthographe) !

GG

Plus de deux cents intervenants ont maintenant lu mon message initial, du moins l'ont affiché sur leur écran. Aucun n'a réagi d'une des trois manières plausibles que j'avais envisagées :

a) On me signale que j'ai admis implicitement un résultat non élémentaire qui ruine mon propos.

b) Mon exposé n'est pas de la géométrie élémentaire. Il s'appuie sur les notions de sous-groupe additif fermé de $\R$ et de topologie de $\R / 2p \Z$. Autrement dit, on admettrait en géométrie élémentaire les propriétés de $\R$, corps archimédien complet, mais on s'interdirait de parler de ses sous-groupes.

Ces deux possibilités confirment le jugement de Choquet.

c) Mes explications sont peut-être de la géométrie élémentaires et Choquet exagère un peu, mais elles sont trop compliquées pour des élèves qui découvrent qu'on peut démontrer ce qu'on voit à partir d'axiomes. Aux élèves qui s'étonneraient de ne pas pouvoir définir rigoureusement la mesure des angles qui faisait déjà le fonds de commerce des Babyloniens il y a quatre mille ans, il convient de leur dire de se montrer patient et d'attendre l'étude des nombres complexes, du plan d'Argand et des séries entières. Ils verront alors combien il est simple et élégant de définir la mesure des angles au moyen de l'exponentielle complexe et de démontrer que $x \mapsto e^{ix}$ est le seul morphisme surjectif continu de période $2\pi$ de $\R$ sur le groupe multiplicatif des complexes de module $1$ !

Un dernier commentaire ?

Foys

Soit $K$ un corps réel clos (c'est-à-dire un corps commutatif muni d'une relation d'ordre totale $\leq$ telle que pour tout $x\in K$, $y\mapsto x+y$ est croissante, pour tous $a,b\in K$ tels que $a\geq 0$ et $b\geq 0$ on a $ab\geq 0$ et enfin, chaque fonction polynomiale de $K$ dans lui-même possède la propriété des valeurs intermédiaires).

1°) Un angle orienté de $K$ est une matrice de la forme $\begin{pmatrix} a & -b \\ b  & a \end{pmatrix}$ où $a,b\in K$ sont tels que $a^2+b^2=1$ (ou n'importe quelle formulation équivalente, par exemple un angle orienté est une isométrie linéaire de déterminant positif pour la forme quadratique $x,y \mapsto x^2+y^2$ en dimension 2 etc). Les cosinus et sinus d'un angle orienté sont respectivement le premier et le deuxième coefficient de sa première colonne (dans la présentation matricielle). Les angles orientés forment un groupe (pour la multiplication des matrices)

2°) Une mesure d'angle orienté de $K$ est un morphisme surjectif de groupes de $(K,+)$ dans celui des angles, continu pour les topologies induites par l'ordre sur $K$ et $K^4$ (ce dernier étant muni de la topologie produit).

3°) Dans beaucoup de cas on croit que 2°) est indispensable là où 1°) suffit (et tant mieux: existe-t-il des mesures d'angle orienté lorsque $K$ est l'ensemble des nombres réels racines d'au moins un polynôme de $\Q[X]$ ?).

4°) NB: Le fait que $K$ est un corps réel clos entraîne que $L:= K[X]/\langle X^2+1\rangle$ est algébriquement clos. 

La démonstration se trouve dans Bourbaki Algèbre (chap 4 à 7). L'idée est de montrer d'abord que tout polynôme de degré 2 de $L$ est scindé (procéder comme dans $\C$) puis par induction sur $n\in \N$ que pour tout entier $m$, tout polynôme $P\in K[X]$ de degré $d:= 2^n (2m+1)$ a une racine dans $L$ (le cas $n=0$ est conséquence de la propriété des valeurs intermédiaires et si $n>1$, considérer les racines $\alpha_1,..., \alpha_d$ de $P$ dans une extension algébrique de $L$ puis pour tout $s\in K$ poser $Q_{s}(X):=\prod_{1\leq i < j \leq d} \left (X - (\alpha_i + \alpha_j) - s \alpha_i \alpha_j\right )$; par symétrie sur les racines, pour tout $s\in K$, $Q_s \in K[X]$ et la plus grande puissance de $2$ divisant le degré de $Q_s$ est $2^{n-1}$ donc par hypothèse de récurrence,  l'un des $\alpha_i +\alpha_j + s\alpha_i \alpha_j$ est dans $L$. La relation d'ordre sur $K$ décrite dans l'introduction fait que $K$ est infini et donc il existe $s1,s2\in K$ distincts et $i<j\in \{1,...,d\}$ tels que $\alpha_i +\alpha_j +s_1\alpha_i \alpha_j \in L$ et $\alpha_i +\alpha_j +s_2\alpha_i \alpha_j \in L$; autrement dit $\alpha_i +\alpha_j\in L$ et $\alpha_i\alpha_j \in L$ et donc $X^2-(\alpha_i+\alpha_j)X + \alpha_i \alpha_j \in L[X]$ et est scindé ar de degré $2$ comme on l'a évoqué plus haut, bref $\alpha_i$ et $\alpha_j$ sont dans $L$).

Pour le cas d'un polynôme $R\in L[X]$ et non plus $K [X]$, définir la conjugaison $z=: a+b\mathbf i \mapsto \overline z:= a-b\mathbf i$, l'étendre à $L[X]$ et appliquer ce qui précède à $R\overline R$ (avec $\mathbf i$ qui désigne bien évidemment la classe de $X$ dans le quotient $K[X]/\langle X^2+1\rangle$).

5°) le point précédent va nous être utile pour la raison suivante: soit $U:= \{a+b\mathbf i \mid a^2+b^2 = 1\}$. Alors $U$ est un groupe pour la multiplication et via ce qui précède, pour tout entier $n$ et tout $x\in U$, il existe $y\in L$ tel que $y^n = x$. En fait un tel $y$ est dans $U$ (car $a+ b \mathbf i \in L\backslash \{0\} \mapsto a^2+b^2$ est un morphisme de groupes à valeurs dans $\{t \in K \mid t >0\}$, pour les lois multiplicatives).

Pour tout entier $n$, $G_n:= \{x\in L \mid x^n = 1\}$ est un sous-groupe cyclique de $U$ (résultat classique pour les corps: cela vient de ce que pour tout entier $m$ divisant $n$ il y a au plus $m$ éléments $y$ de $G_m$ tels que $y^m=1$, au plus $\varphi (m)$ éléments exactement d'ordre  $m$ où $\varphi$ est la fonction indicatrice d'Euler, puis appliquer le principe des tiroirs et la relation $\sum_{d \mid n} \varphi(d)  = n$).

Or $U$ est isomorphe au groupe des angles orientés via $(a,b) \mapsto \begin{pmatrix} a & -b \\ b  & a \end{pmatrix}$ (on identifiera désormais les éléments de $U$ à leur image par cet isomorphisme). On en déduit donc que pour tout entier $n$, il existe un angle orienté $\theta_n$ qui est exactement d'ordre $n$ dans le groupe des angles orientés.

Lorsque $n=360$, soit $(p+q\mathbf i)$ l'unique angle orienté d'ordre 360 tel que $q>0$ et $p$ est le plus grand possible (toutes les parties finies non vides de $K$ possèdent évidemment un plus grand élément). On appelle "angle de $n$ degrés" et on note $n^°:= (p+q\mathbf i)^n$ pour tout entier $n$.

6°) Exercices ($K$ n'est pas $\R$ dans ce qui suit!!! mais un corps réel clos quelconque. Noter qu'il en existe de cardinaux arbitrairement grands).

Dans ce qui suit on utilise les abus de langage suivants: pour tous angles orientés $a,b$: "$a+b$" désigne en fait $ab$ et "$2a$" désigne en fait $a^2$. On dira "angle" au lieu d'angle orienté.

i) Pour tout angle $x$, $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

ii) pour tous angles $a,b$, $\cos (a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin (b)$ et $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$.

iii) pour tous angles $a,b$, $\cos(2a)+\cos(2b) = 2\cos(a+b)\cos(a-b)$.

iv) trouver des formules analogues à celle de iii) pour $\cos(2a)-\cos(2b)$, $\sin(2a)+\sin(2b)$ et $\sin(2a)-\sin(2b)$

Pour tout angle $x$ tel que $\cos(x) \neq 0$ on pose $\tan(x):= \frac {\sin(x)}{\cos(x)}$

v) Pour tout angle $x$ (tel que $\cos(x)\neq 0$), $1+\tan(x)^2 = \frac{1}{\cos^2(x)}$

vi) Pour tous angles $a,b$ tels que $\cos(a)\cos(b) \neq 0$ et $\cos(a+b)\neq 0$, on a $\tan(a+b) = \frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}$

vii) Pour tous angles $t$ tels que $\cos(t) \neq 0$ et $1-\tan^2(t) \neq 0$, exprimer $\sin(2t)$ et $\cos(2t)$ en fonction de $\tan(t)$

viii) calculer $\cos(30^°), \sin(30^°),\cos(45^°), \sin(45^°), \cos(60^°), \sin(60^°), \cos(90^°)$ et $\sin(90^°)$

ix) calculer $\cos(72^°)$.

NB: en fait viii) et ix) sont très difficiles:

pour les résoudre -car il y a ambiguïté sur la réponse: $\sin(90^°)$ vaut-il $1$ ou $-1$ ?- votre serviteur triche en utilisant des résultats de théorie des modèles (la théorie des corps réels clos est complète et décidable et ces énoncés, exploitant la définition de degré au point 5) fait que ces exos sont des énoncés de logique du premier ordre et donc on déduit de ce qui se passe pour $K:= \R$ que la réponse est bien celle à laquelle tout le monde pense).

GG

Merci Foys d'avoir pris la peine de rédiger ton message, fort intéressant.  Mais la question que j'ai posée en ouvrant ce fil était de savoir si oui ou non on pouvait exposer correctement la mesure des angles dans le contexte de la géométrie élémentaire, c'est-à-dire à un niveau mathématique élémentaire. C'est à proprement parler plus une question de pédagogie que de mathématiques, et je crains que ton intervention ne soit pas très éclairante à cet égard, parce que planant à un autre niveau.

Dom

Salut GG,
Peux-tu préciser par exemple ce niveau élémentaire ? École, collège, lycée ?
Car en effet, je ne sais pas ce que cela signifie vraiment dans tes messages.  

Ou bien en précisant les outils autorisés ou non (avec ou sans algèbre linéaire, etc.). 

Cordialement 
Dom

GG

Salut Dom,
Je me base sur "L'enseignement de la géométrie" de Gustave Choquet,  un livre à mon sens remarquable qui concerne et s'applique aux enfants de 13 à 16, 17 ans.

pldx1

Bonjour,

Quelques questions et remarques.$ \def\pccd{\mathbb{P}_{\C}\!\left(\C^{2}\right)}$

1. Le paradigme est-il de figurer les calculs (Euclide/Pythagore) ou de calculer les figures (Descartes/Artin) ?
   
2. "L'enseignement de la géométrie" de Gustave Choquet, un livre qui concernerait et s'appliquerait aux enfants de 13 à 17 ans. Quels zenfants, de quel pays et de quel siècle ?
3. Le point de vue avancé sur les angles tient en une ligne : le groupe des rotations planes est un groupe à un paramètre, d'où un morphisme avec le groupe ($\R$,+). Il faut donc trois choses: un groupe, une paramétrisation, une mesure.
4. Pourquoi voudrait-on mesurer les angles ?
5. Pourquoi voudrait-on additionner les angles ?
6. La bissectrice d'un angle définit... Qui donc définit la bissectrice ?
7. A propos de la relation d'entritude. Une demi-droite Ox. On rotate de 92°, donnant Oy. On rotate de 93° donnant Oz. Aucune de ces demi-droites n'est "entre" les deux autres (à la sauce Pash). Une figure pour (3) ?
8. Longueur de l'arc de cercle ?
9. On oriente le plan ou bien on n'oriente pas ?
10. Factorisation en représentations irréductibles \[ \begin{pmatrix}a & -b\\ b & a \end{pmatrix}\mapsto\left(\begin{array}{cc} a+ib & 0\\ 0 & a-ib \end{array}\right) \] conduisant à la fameuse représentation intrinsèque \[ \left(\begin{array}{c} a+ib\\ 1\\ a-ib \end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} \tau\\ 1\\ 1/\tau \end{array}\right) \] où l'on unifie le point de vue de Bob, qui est d'un côté du plan, avec le point de vue de Alice, qui est de l'autre côté du miroir, et qui ne peut que constater que, dans le monde de Bob, les rotations tournent dans le mauvais sens. Cette représentation inclusive est attribuée à Morley (où $\tau$ est un turn).
11. Définition de la tangente: $\tan x\simeq\left(\begin{array}{c} \sin x\\ \cos x \end{array}\right)\in\pccd$. Définition projective, permettant d'utiliser \[ t_{1}\star t_{2}=\left(t_{1}+t_{2}\right)/\left(1-t_{1}t_{2}\right) \] Autrement dit: sous ce signe $\infty$, tu vaincras !

Cordialement, Pierre

PS. L'exercice (ix) est vraiment très difficile. Il suppose de percevoir que $360 \div 72 = 5$!  Pour sauver le pays, il faudrait imposer des mathématiciens de haut niveau dans tous les clubs sportifs ! 

Foys

@pldx1

PS. L'exercice (ix) est vraiment très difficile. Il suppose de percevoir que 360÷72=5!  Pour sauver le pays, il faudrait imposer des mathématiciens de haut niveau dans tous les clubs sportifs ! 

En un sens je veux bien croire qu'à l'époque des mathématiques intelligentes et des calculatrices un tel calcul ait fini par provoquer des difficultés insurmontables pour une grande partie du public. Mais ce n'est pas de ça dont je voulais parler. Considérons le polynôme $P:= \frac{X^5-1}{X-1} = 1+X+X^2+X^3+X^4$. Dans $L$ (qui est algébriquement clos mais aussi de caractéristique nulle puisque ordonnable).

Soit $E$ l'ensemble des racines de $P$. $E$ est alors l'ensemble des racines 5ièmes primitives de l'unité.

Soit $a+ b \mathbf i  \in E$. Alors $(a+b \mathbf i)^4 (a+ b \mathbf i) = 1$ et donc $(a+ b \mathbf i)^4 = (a+b \mathbf i)^{-1} = \frac{a-b \mathbf i}{a^2+b^2} = a-ib$. On a de même $(a+b \mathbf i)^2 (a+ b \mathbf i)^3 = 1$ et donc $(a^2-b^2 + 2b \mathbf i = (a+ b \mathbf i)^2$ et $a^2-b^2 - 2ab \mathbf i  = (a+ b \mathbf i)^{-2} = (a+b \mathbf i)^3$.

le fait que $P(a+ b \mathbf i) = 0$ donne donc l'égalité $$\begin{align} 0  = & 1 + a+ b\mathbf i + a^2-b^2 + 2ab\mathbf i + a^2-b^2  - 2ab\mathbf i + a- b\mathbf i \\ = & 1+ 2a +2a^2 -2b^2 \\ = & 1+ 2a + 4a^2 - 2(a^2 + b^2) = 1+ 2a + 4a^2 -2 \\ = & -1+ 2a +4a^2 \end{align}$$.

Le théorème des valeurs intermédiaires pour les polynômes garantit l'existence dans $K$ d'un élément positif $\sqrt 5$ dont le carré vaut $5$ et

$2a$ est donc solution de l'équation en $x\in K$: $-1+x+x^2 = 0 = \left (x - \frac{-1 - \sqrt 5} 2 \right ) \left (x - \frac{-1 + \sqrt 5} 2 \right )$. Autrement dit, $a\in \left \{ \frac{-1 - \sqrt 5} 4 ;  \frac{-1 + \sqrt 5} 4 \right\}$

En particulier, comme $\cos (72^°) + \sin(72^°) \mathbf i$ est une racine 5ième de l'unité (via le calcul délicat évoqué dans la citation ci-dessus), on peut en déduire que $\cos(72^°) = \frac{-1 - \sqrt 5} 4$ (*)ou que $\cos(72^°) = \frac{-1 + \sqrt 5} 4$ (**) (EDIT: corrigé selon l'indication de @pldx1. Cependant je n'ai toujours pas la réponse à ma question !!!)

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Maintenant que toutes ces simagrées sont finies on peut enfin poser la véritable question de l'exo:

Laquelle des deux propositions (*), (**) ci-dessus est vraie et pourquoi?

NB: à nouveau $K$ n'est pas $\R$. Dans le cas particulier de $\R$ on aurait recours aux variations de la fonction analytique  $\cos$ qui serait définie d'une autre manière que ci-dessus; en tout cas un argument de mesure d'angles serait utilisé au moins implicitement. Rien de tout ceci n'est valable dans le présent contexte.

pldx1

Je veux bien croire qu'à l'époque des mathématiques intelligentes et des calculatrices un tel calcul ait fini par provoquer des difficultés insurmontables pour une grande partie du public.

$\cos \! \left(\frac{2 \pi}{5}\right) = \frac{\sqrt{5}}{4}-\frac{1}{4} \approx   0.30901699437494742410 $

Dom

Une version de ce livre [Choquet, L’enseignement de la géométrie] date de 1964. 

Je ne trouve rien que l’on ne puisse qualifier « d’élémentaire » quand on parle de s’adresser à un élève de lycée (15-18 ans) même « sous la direction de leurs maîtres », dans le contexte 2024. Voici un cliché qui introduit l’ouvrage. 

Dom

Un livre contemporain qui s’en rapprocherait serait peut-être « Mathématiques d’écoles » de D. Perrin. Même si la problématique n’est pas celle-là. 

Foys

On peut construire des mesures d'angle en reparamétrant par longueur d'arc la fonction $t\mapsto \left (\frac{1-t^2}{1+t^2} ,\frac{2t} {1+t^2}\right)$ qui va de $\R$ dans $\{(x,y) \in \R^2 \mid x>-1\}$ et en bricolant.

Foys

Ingrédients: primitive d'une fonction continue, dérivée d'une bijection dérivable et strictement croissante d'un intervalle dans un autre, théorème des valeurs intermédiaires et autres notions lycéennes (pas de séries ou d'équations différentielles).

I) Soient pour tout $x\in \R$, $\sigma(x):= \frac{2x}{1+x^2}$ et $\gamma(x):=  \frac{1-x^2}{1+x^2}$. Ces fonctions sont évidemment dérivables et de dérivées continues. Des calculs directs montrent que pour tout $t\in \R$, $\gamma(t)^2+\sigma(t)^2 = 1$, $\sigma'(t)= \frac 2 {1+t^2} \gamma (t)$ et $\gamma'(t) = - \frac 2 {1+t^2} \sigma(t)$. En particulier $\sqrt {\gamma'(t)^2 + \sigma'(t)^2} = \frac 2 {1+t^2}$. Posons pour tout $x\in \R$, $\theta(x):= \int_0^x \frac 2 {1+s^2} ds$. Alors $\theta$ est strictement croissante, continue et impaire, de dérivée $\theta'(x) = \frac 2 {1+x^2}$ pour tout $x\in \R$.

II) Pour tout $x\geq 1$, $$\theta(x) \leq \int_0^1 \frac 2 {1+s^2} ds + \int_1^x \frac 2 {s^2} ds \leq 2 + 2 \left (1 - \frac 1 x \right) \leq 4 \tag{1}$$

Cela montre que $\theta$, en plus d'être croissante, est majorée sur $[0,+\infty[$ par $4$ et donc possède en $+\infty$ une limite que nous désignerons désormais par $\pi$. Par imparité, $\theta(x)$ tend vers $-\pi$ quand $x$ tend vers $-\infty$ et $\theta$ est une bijection dérivable et croissante entre $\R$ et $]-\pi, \pi[$. $\theta$ admet donc une bijection réciproque $\omega: ]-\pi, \pi[ \to \R$ dérivable et telle que pour tout $u\in ]-\pi, \pi[$, on a $$\omega'(t) = \frac 1 {\theta' \left (\omega(t) \right)} = \frac{1+ \omega^2 (t)} 2 \tag{2}$$.

III) On pose pour tous $u \in ]-\pi, \pi[$, $\cos(u):= \gamma \left ( \omega (u)\right)$ et $\sin(u):= \sigma \left (\omega(u) \right)$. Ces fonctions sont dérivables par composition et pour tout $v\in]-\pi, \pi[$ on a $$\begin {align} \cos'(v) & = \frac{1+\omega^2 (v)}{2} \frac 2 {1+\omega^2(v)} \left (- \sigma \circ \omega (v)\right) = -\sin(v) \\ \sin'(v) & = \frac{1+\omega^2 (v)}{2} \frac 2 {1+\omega^2(v)} \gamma \circ \omega (v) = \cos (v) \end{align} \tag 3$$ Bref $\cos' = -\sin$ et $\sin' = \cos$ ce qui est déjà encourageant (!!!). Noter également que $\theta(0) = 0$ donc $\omega(0) = 0$ et $\cos(0) = \gamma(0) = 1$, de même que $\sin(0) = \sigma(0) = 0$.

IV) Soit $a\in ]-\pi; \pi[$. Alors les fonctions $t\mapsto \cos(t) \cos(a-t) - \sin(t) \sin(a-t)$ et $t \mapsto \cos(a-t) \sin(t) + \sin (a-t) \cos(t)$ sont de dérivées nulles sur les intervalles où elles sont définies et donc constantes ce qui permet déjà de réupérer des formules de trigonométrie.

V) exo: finir ce qui précède en prolongeant $\cos$ et $\sin$ à tout $\R$...

Foys

J'oubliais de le préciser mais $t\mapsto \left (\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2} \right )$ (et non pas $\frac {2t}{1-t^2}$: édité) est surjective de $\R$ dans $\{(x,y) \mid x>-1 \text{ et } x^2+y^2 = 1\}$ (l'équation correspondante se résout explicitement).

Cela entraîne que l'image de $t\in ]-\pi, \pi[ \mapsto \left (\cos(t), \sin(t) \right)$ est également $\{(x,y) \mid x>-1 \text{ et } x^2+y^2 = 1\}$.

Dom

Pour moi, toutes ces propositions sortent du chapeau de ceux qui connaissent. 

On parle d’angle et d’approche élémentaire. J’ose l’expression on entend par « élémentaire » de la géométrie « à la papa ». 
Mais on en déniche l’intégrale, les primitives et en fait même la continuité est presque déjà de trop de mon point de vue avec l’objectif affiché. 

Foys

Dom a dit :

Pour moi, toutes ces propositions sortent du chapeau de ceux qui connaissent.

Ces procès pédagogistes n'ont pas lieu d'être, au sens où les mathématiques ne sont pas une démarche (même si certaines de leurs applications dans des domaines restreints le sont: la multiplication de deux entiers explicites ou la détermination d'un pourcentage appellent toujours les mêmes recettes). La possibilité des maths démarchistes a été anéantie pour toujours par les théorèmes d'indécidabilité des années 30, Gödel bien sûr mais aussi en l'espèce Church (indécidabilité du calcul des prédicats: informellement il n'existe et n'existera jamais aucun programme informatique qui apporte infailliblement une réponse correcte à n'importe quel problème de maths composé au pif qu'on luit soumet).

Les pédagogos, en reprochant au monde académique de ne pas violer un théorème de maths se rendent vraiment insupportables.

La bonne réponse sort du chapeau? OK, alors déjà commençons par remercier celui prend la peine de la livrer au lieu de la garder pour lui.

Mais on en déniche l’intégrale, les primitives et en fait même la continuité est presque déjà de trop de mon point de vue avec l’objectif affiché.

Dans le combat contre la nature on ne choisit pas ses armes, on emploie celles qu'on peut et on ne décide pas de celles qui vont fonctionner. L'introduction la plus courte mais qui reste rigoureuse des angles ou de certains concepts géométrique est encore un problème ouvert. C'est compliqué. Nous n'avons pas le luxe de décider de la difficulté de ce problème. Gustave Choquet et les autres anciens le savaient et avaient l'honnêteté de ne pas le cacher sous le tapis. D'ailleurs sa démarche est très saine (il cite explicitement le résultat non trivial d'existence de mesures d'angles et assume de le traiter en axiome, en toute  transparence et après avoir dit qu'il était difficile). On est à des années-lumière de l'attitude consistant à dénaturer la discipline pour ne pas avoir à appréhender sa difficulté ce qui est une tromperie.

Dom

C’est à cela que je pense « assumer de le traiter en axiome ». Je ne sais pas si cette approche [intégrale] est plus élémentaire que le fait de regarder le groupe spécial orthogonal pour envoyer un vecteur sur un autre. 

Au fait, j’ai peut-être oublié quelque chose : on admet « l’objet angle » et on crée sa mesure ? C’est cela ?

pldx1

$t\mapsto \left (\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1-t^2} \right )$ est surjective de $\R$ dans $\{(x,y) \mid x>-1 \text{ et } x^2+y^2 = 1\}$ 

Si l'on veut vraiment parler d'angles (c'est à dire de trucs utiles à quelque chose, et en particulier utiles aux mathématiques) il convient de formuler la chose selon: 

1. L'angle orienté entre deux droites dans le plan orienté se caractérise par sa tangente $t\in \overline{\mathbb T}$, c'est à dire un élément de l'Alexandrov de $\mathbb R$, celui qui est inclus dans $\overline{\mathbb C}$, à ne pas confondre avec $\overline {\mathbb R}$. 
2. L'angle orienté entre deux vecteurs dans le plan orienté se caractérise par son turn $\tau=c+is\in \mathbb {U}$, c'est à dire un élément de l'ensemble des complexes de module $1$. 
3. Le caractère groupique des angles se caractérise par les opérations $(u_1,u_2)\mapsto u_1 *_\mathbb{C} u_2$ et $(t_1,t_2)\mapsto \dfrac {t_1+t_2}{1-t_1 t_2}$. 
   
4. Le théorème de l'angle au centre se caractérise par la projection stéréographique $t \mapsto \dfrac {1-t^2}{1+t^2} + i \dfrac {2t}{1+t^2} $ qui est une bijection de $\overline {\mathbb T}$ sur $\mathbb{U}$.
5. Ah, le beau diagramme commutatif que voilà (le lecteur ne manquera pas de percevoir le joke sous-jacent).
6. Et pendant ce temps, Alice, qui est de l'autre côté du miroir, voit que $t_{Bob}=- t_{Alice}$, tandis que Bob prétend que $ t_{Alice}=-t_{Bob}$. 
7. On peut même tintrinséquer tout cela en utilisant $\tau : 1 : 1/\tau$. Quelles belles mathématiques inclusives: le point de vue de Bob, le point de vue de Alice avec un $1$ entre les deux pour insister sur l'unité conceptuelle. Pour ceux qui ne l'auraient pas encore remarqué: le produit en croix de l'inclusif de $A$ et de l'inclusif de $B$ donne les coordonnées projectives de la droite $AB$ (pcc. Frank Morley).  

Cordialement, Pierre.

Chaurien

Moi pour la mesure des angles orientés, je préconise, sans originalité, d'abord la définition des fonctions usuelles à partir de l'exponentielle complexe. Je dis bien fonctions usuelles réelles de la variable réelle, fonctions exponentielles et logarithmes, fonctions circulaires et hyperboliques et leurs réciproques. Sans aucune référence au départ à aucune notion géométrique.

Attention, la définition  de la fonction $\exp z=\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{z^{n}}{n!}$, pour $z\in \mathbb{C}$, ne nécessite aucune étude spécifique  préalable de la théorie des séries entières, ni a fortiori de la théorie des fonctions à variable complexe, mais seulement des séries (numériques) à termes complexes, la convergence absolue, le produit de Cauchy, et c'est tout. Et même on peut éviter le produit de Cauchy en reliant ceci à $(1+ \frac zn)^n$, idée que j'ai trouvée dans un vieux traité d'Aubert et Papelier, dont un professeur m'avait fait cadeau lorsque j'étais lycéen.

On peut aussi adopter une présentation « axiomatique », postuler qu'il existe une application $f:\mathbb C \rightarrow \mathbb C$ , qui sera la fonction exponentielle, telle que :

(i) $\forall z\in \mathbb{C},\forall z^{\prime }\in \mathbb{C},f(z+z^{\prime })=f(z)f(z^{\prime })$ ;

(ii) $\forall z\in \mathbb{C},\left\vert z\right\vert \leq 1\Rightarrow \left\vert f(z)-1-z\right\vert \leq \left\vert z\right\vert ^{2}$ ;
(iii) $\forall z\in \mathbb{C},\overline{f(z)}=f(\overline{z})$.

Et même l'axiome (iii) peut se déduire des deux précédents, mais on peut l'énoncer pour aller plus vite.

On peut définir toutes les fonctions usuelles, avec toutes leurs propriétés, à partir de ces « axiomes ».

Une fois définies les fonctions circulaires, on peut en déduire la paramétrisation du cercle-unité, et la mesure des angles orientés. je peux développer si besoin est, mais c'est très connu.

J'ajoute qu'il faut s'intéresser aussi à la mesure des angles non-orientés, ou écart angulaire, angle du rapporteur,$~~$ « angle vulgaire », de deux vecteurs non nuls dans un espace euclidien ou préhilbertien réel de dimension quelconque, notion aussi intéressante que la précédente, avec quelques propriétés non évidentes, notamment l'inégalité triangulaire. On a déjà parlé de tout ça sur ce forum, on peut en reparler.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

Dom

Le prologue de Rudin 😀

Chaurien

@Dom

En effet, ce que je dis ressemble au prologue de Rudin (Real and Complex Analysis), je n'y avais pas pensé. Je n'utilise pas souvent cet ouvrage, je devrais peut-être le regarder davantage. Je suis bien d'accord avec son assertion initiale, à propos de la fonction exponentielle complexe  : « This is undoubtedly the most important function in mathematics » (C'est sans aucun doute la fonction la plus importante en mathématiques). L'exponentielle complexe est pour ainsi dire la mère de toutes les fonctions usuelles. Mais je trouve que le prologue de Rudin est un peu confus, sans doute parce que l'auteur voulait aller vite dans un prologue.

J'ai trouvé mon exposé avec des réflexions de plusieurs années, et j'ai posé des problèmes à ce sujet dans diverses classes prépas scientifiques ou même commerciales. On peut le rédiger avec juste  les propriétés des séries numériques à termes complexes, juste la convergence absolue pour démontrer la convergence de la série exponentielle, et le produit de Cauchy pour obtenir ce que j'ai appelé l'axiome (i) et encore, comme j'ai dit, peut-on éviter le produit de Cauchy, bien sûr avec un allongement de l'exposé : tout a un prix en ce bas monde. Mes axiomes (ii) et (iii) sont évidents pour la série exponentielle.  Ces trois axiomes suffisent pour fonder tout l'exposé de toutes les définitions et de toutes les propriétés de toutes les fonctions usuelles. On peut même déduire (iii) de (i) et (ii), je le rappelle, mais encore au prix d'un allongement.

Mon axiome (ii) bénéficie du hasard heureux qui place le nombre $e$ entre $2$ et $3$. Il permet d'établir sans mal la dérivabilité des fonctions en question et d'obtenir les dérivées, sans passer par les cases « convergence uniforme » et « continuité », ce qui simplifie l'exposé et permet de le présenter dans des secteurs d'enseignement plus élémentaires, à Bac+1.

J'insiste sur le fait que les fonctions circulaires en question ici sont des fonctions réelles de la variable réelle (qu'on pourra facilement prolonger à $\mathbb C$, mais c'est une autre histoire). Je veux dire qu'elles ne sont pas définies sur un « groupe-des-angles » dont je n'ai jamais bien vu l'utilité. Le lien avec la mesure des angles, c'est le théorème bien connu qui dit que l'application $x \mapsto e^{ix}$ est un morphisme surjectif du groupe additif $\mathbb R$ sur le groupe multiplicatif  $\mathbb U$ des complexes de module $1$, morphisme dont le noyau est $2 \pi \mathbb Z$. Et ceci se démontre à partir des propriétés des fonctions circulaires réelles à variable réelle. C'est en quelque sorte un cadeau de l'Analyse à l'Algèbre linéaire et à la Géométrie.

Bonne journée.

Fr. Ch.