Sous-somme presque entière

Georges Abitbol

Salut !
Quelqu’un a posté un recueil d’exercices de la RMS, dans un fil récent. Je planche sur le deuxième exercice et je voudrais une indication (une toute petite si possible).

Soit $n$ un entier non nul. Soit $(x_0,\dots, x_{n-1})$ un $n$-uplet de nombres réels. Démontrer qu’il existe $I\subset n$ non vide tel que $\sum_{i\in I} x_i$ est à distance au plus $\frac{1}{n+1}$ d’un entier.

J’ai essayé de discrétiser, de faire une récurrence, de trouver beaucoup de trucs à mettre dans peu de tiroirs, las…

Namiswan

Peut-être un principe des tiroirs sur les sommes $S_k=x_0+\dots+x_k$ modulo 1 ?

Georges Abitbol

Waaah, je suis dégoûté… Merci, Namiswan.

john_john

De même, si l'on a une famille de $n$ entiers, il en existe une partie finie (non vide) dont la somme est divisible par $n$. On établit cela directement, encore grâce au principe des tiroirs, ou comme conséquence de l'exercice de Georges.

Namiswan

Oui j'ai adapté cette preuve (du livre...)