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La densité d'un sous-ensemble de R

Modifié (8 Feb) dans Analyse
Bonjour
J'aurai besoin d'aide.

Je dois montrer que : si $A$ est un sous-ensemble non majoré de $\R^+$, alors $\bigcup_{n\in \mathbb{N*}}\frac{1}{n}A$ est dense dans $\R^+$.

Ce que j'ai fait.
Soit $y>x\in \mathbb{R}$ et $a\in A$ fixé. Pour $\varepsilon = (y-x)/a>0$, on peut trouver grâce a la propriété d'Archimède, $n\in\mathbb{N^*}$ tel que $\varepsilon>1/n$ puis, $\varepsilon .a>a/n$. On vient de montrer que pour tout $x>y\in \mathbb{R}$, il existe $(n,a)\in\mathbb{N^*}\times A$ tel que $y-x>a/n$;
Est-ce que mon raisonnement est juste ?  Je n'ai pas utilisé le fait que $A$ est non majoré.
Merci d'avance.

Réponses

  • Ta conclusion est bizarre. Il s'agit de montrer que tu peux trouver un $\frac{a}{n}$ vérifiant $x < \frac{a}{n} < y$, ce qui n'a pas grand-chose à voir avec ce que tu as fait.
  • Ta réunion ne contient que des réels positifs donc la densité dans R va être compliquée à établir.
  • Modifié (8 Feb)
    Peut-être $A$ est un sous-ensemble non majoré de  $\R$.
    Le 😄 Farceur


  • Tu as modifié le message sans le dire. Au début, tu demandais la densité dans $\mathbb{R}$, et tu l'as changée en la densité dans $\mathbb{R}^+$. Jlapin et moi avons l'air stupides si quelqu'un nous lit.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (8 Feb)
    Ahhh... Désolé...le stupide c'est moi!, c'était ma faute, j'a fait beaucoup de typos dans l'énoncé de la question.
    Un grand merci d'ailleurs pour votre temps.
  • Je vais essayer de te mettre sur la voie. Tu as fixé $x < y$ et ton but est de montrer l'existence de $n \in \mathbb N^*$ et $a \in A$ tels que $x < \frac a n < y$, autrement dit, $nx < a < ny$. Puisque $A$ est non majoré, alors pour tout $n \in \mathbb N^*$, tu peux toujours réaliser $nx < a$ sauf qu'il n'y a pas de raison qu'on ait alors $a < ny$, mais tu peux chercher à montrer que l'on peut toujours le faire dès que $n$ est suffisamment grand.
  • Modifié (9 Feb)
    exercice 9 avec indication 
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (9 Feb)
    Considérons 2 réels positifs $x$ et $y\,$ avec $x<y$. Tout d'abord, est infini l'ensemble $\Lambda\,$ des entiers $\lambda \geq 1$ tels qu'il existe $a\in A\,$ (nommé plus loin "associé à $\lambda\,$") vérifiant $\frac{a}{\lambda+1}<y\leq \frac{a}{\lambda}$. En effet, soit $n\,$ un naturel non nul. Puisque $\frac{1}{n} A\,$ est (tout autant que $A\,$) non borné, il existe $a \in A\,$ tel que y$\leq \frac{a}{n}$. Comme la suite $(\frac{a}{n+p})_{p}$ tend vers $0\,$, il existe un naturel $p\geq 1$ tel que $\frac{a}{n+p} < y$. En notant $p_0\,$ le premier de ces entiers $p\,$, on a $p_0\geq1$ et il vient: $\frac{a}{n+p_0 } <y\leq \frac{a}{n+p_0-1}$. Ainsi pour tout naturel $n\,$ non nul, il existe un $a\,$ dans $A\,$ et un naturel $\lambda \geq n$ tel que $\frac{a}{\lambda+1}<y\leq \frac{a}{\lambda}$, ce qui assure bien l'infinitude de $\Lambda\,$. Maintenant, on observe que pour $\lambda \in \Lambda\,$ et $a \in A\,$ associé, on a: $$0<\frac{a}{\lambda}-\frac{a}{\lambda +1} = \frac{1}{\lambda}. \frac{a}{\lambda+1}<\frac{y}{\lambda}$$ Comme $\Lambda\,\,$ est infini, il existe par archimedianité un $\lambda \in \Lambda$ tel que $\frac{y}{\lambda} < y-x$. Pour un tel $\lambda\,$ et $a\in A\,$ associé on a alors $x<\frac{a}{\lambda +1}<y$. D'où (sauf erreur) la densité voulue.
  • Modifié (9 Feb)
    Salut,
    Perso., j'aurais fait comme (il me semble) le suggère Poirot : on fixe $0<x<y$ et on prend un $a\!\in\!A$.
    Pour avoir $\dfrac{a}{n}\!<\!y$ on peut, par exemple, prendre pour $n$ la partie entière de $\dfrac{a}{y}\!+\!1$ qui vérifie $n\!-\!1\!\leqslant\!\dfrac{a}{y}\!<\!n$.
    Et pour avoir aussi $x\!<\!\dfrac{a}{n}$, c'est-à-dire $n\!<\!\dfrac{a}{x}$ il suffit d'avoir $\dfrac{a}{y}\!+\!1  \!<\!\dfrac{a}{x}$ c'est-à-dire d'avoir choisi au départ un $\ a>\!\dfrac{xy}{y-x}$.
  • Modifié (9 Feb)
    Bonjour
    En tant que paresseux, j'ai suivi l'indication de l'exercice, c'est-à-dire faire un choix de $N$ tel que $Ny \geq (N+1)x$.
    Je commence par fixer $a\in A$ tel que \[ \frac{a}{x} - 1 > \frac{x}{y-x} \quad \text{C'est possible car A est non bornée supérieurement.} \]
    Ensuite, je pose $N = E( \frac{a}{x} ) - 1$, on a bien $N>0$. Alors, \[ \frac{x}{y-x} < \frac{a}{x} - 1 \leq N < \frac{a}{x}. \]
    D'une part, $Nx < a$, et d'autre part, $\frac{x}{y-x} < N$ implique $Ny > (N+1)x$. Mais $N+1 \geq \frac{a}{x}$, donc \[ Ny > (N+1)x \geq \frac{a}{x} \cdot x = a. \] Ainsi, on obtient $a < Ny$.
    @Jlapin es-tu d'accord :smiley:
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (10 Feb)
    Indication : soient $x,\varepsilon>0$. Alors il existe $A>0$ tel que $[A,+\infty[\, \subseteq \bigcup_{n \in \N} ]nx-n\varepsilon, nx+n\varepsilon[$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Modifié (10 Feb)
    Bonjour @Poirot
    Peux-tu donner ta preuve. C'est enrichissant.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (12 Feb)
    Bonjour,
    Une généralisation de cet exercice (avec un raisonnement similaire) pourrait être: soient $(u_n)_n$ et  $(v_n)_n$ deux suites de réels strictement positifs. Alors, si ces deux suites tendent vers $+\infty$ et si $(v_{n+1}/v_n)_n$ converge vers 1, l'ensemble des éléments de la forme $u_m/v_n ,\ (m,n\in\mathbb N$) est dense dans $\mathbb R^{+*}$. Via la fonction $\log$, on en déduit une version "additive" : 
    soient $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ deux suites réelles. Alors, si ces deux suites tendent vers $+\infty$ et si  $(v_{n+1}-v_n)_n$ converge vers 0, l'ensemble des éléments de la forme $u_m-v_n$   ($m,n\in\mathbb N$) est dense dans $\mathbb R$.
    D'où par exemple la densité de $\{m-\ln n\}_{m,n}$ ou $\{\sqrt m - \sqrt n\}_{m,n}$  (ou encore la densité dans $[0,1]$ de l'ensemble des parties décimales de  $\sqrt n$).
  • @gebrane Ma preuve était essentiellement la tienne. Un dessin aide à voir qu'on a gagné dès que $(n+1)x < ny$.
  • Ok merci l'ancien ami
    Le 😄 Farceur


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