Série géométrique matricielle

jp nl
Modifié (8 Feb) dans Analyse
Bonjour.
Je considère la série $\sum A^n$ où $A$ est une matrice carrée à coefficients dans $\C$.
Converge-t-elle ?
Pour ce que j'en comprends.
Si pour une norme sous-multiplicative, $||A||<1$, alors on peut établir la convergence absolue, donc la convergence.
Mais ce n'est qu'une condition suffisante.
Peut-on trouver une condition nécessaire ?
Remarque.
J'ai regardé un exemple avec $A=\frac16\begin{pmatrix}8&-5\\10&-7\end{pmatrix}$.
La série converge essentiellement parce que les valeurs propres sont de modules strictement inférieurs à 1.
Merci pour vos idées.

Réponses

  • zygomathique
    Modifié (8 Feb)
    Salut
    dans $\C$ toute matrice est diagonalisable donc il existe des matrices $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $ A = PDP^{-1} $  (1)
    donc $ \sum A^n = \sum PD^n P^{-1} $
    il suffit alors de regarder les modules des éléments diagonaux de $D$,
    on peut se ramener aussi à une matrice triangulaire supérieure $A = PTP^{-1} $ (ce n'est pas le même $P$ que (1))
    mais alors on peut écrire $T = D + N$ où $D$ est diagonale et $N$ nilpotente ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • jp nl
    Modifié (8 Feb)
    Merci.
    J'imagine qu'il faut lire trigonalisable dans ta première phrase.
    C'est donc bien seulement une histoire de spectre.
    S'il existe $\lambda$ une valeur propre de module $\geq1$, notons $X$ un vecteur propre pour cette valeur propre. Alors $A^kX=\lambda^kX$.
    Supposons que $\sum A^k$ converge vers une matrice $B$.
    Alors $(\sum A^k)X$ converge vers $BX$ (continuité de $A\mapsto AX$ ?), donc $(\sum \lambda^k)X$ converge vers $BX$.
    C'est absurde car $(\sum \lambda^k)$ diverge et $X\neq 0$.
    Conclusion. S'il existe $\lambda$ une valeur propre de module $\geq1$, alors la série $\sum A^k$ diverge.
    Et avec la décomposition de Dunford, si toutes les valeurs propres ont un module $<1$, alors la série converge (et là, c'est la continuité de $M\mapsto P.M.P^{-1}$ qui joue pour passer de la convergence de $\sum(D+N)^k$ à celle de $\sum A^k$) ?
    Mes histoires de continuité sont-elles correctes ?
  • Curieusement, la série $\sum A^n$ converge si, et seulement si, $A^n\to0$.
  • Peut-être existe-t-il un théorème qui parle du rayon spectral mais ça revient je pense à paraphraser ce qui vient d’être dit. 
  • gebrane
    Modifié (8 Feb)
    Dom dit Peut-être existe-t-il un théorème qui parle du rayon spectral.
    Si un tel théorème n'existe pas , on le force d'exister  :smiley: $$\sum A^n\quad cv\iff  \rho(A)<1$$
    Le 😄 Farceur


  • Merci à tous.
    Les éléments de preuve ci-dessus, notamment les problèmes de continuité évoqués, sont-ils corrects ?
  • JLapin
    Modifié (8 Feb)
    Habituellement, la décomposition de Dunford donne une décomposition de la forme $A=D+N$ donc je ne vois pas bien à quoi sert la matrice $P$.
    Sinon, oui, la continuité de $M\mapsto PMP^{-1}$ est vraie et utile pour utiliser une réduction dans un problème de topologie matricielle.
  • Dom
    Dom
    Modifié (8 Feb)
    Je cherchais ce nom « série de Neumann » et je viens de le retrouver. C’est une théorie un peu plus générale (« opérateurs »). 
    https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Série_de_Neumann
  • jp nl
    Modifié (8 Feb)
    Merci JLapin !
    Ici aussi, continuité ?
    Supposons que $\sum A^k$ converge vers une matrice $B$.
    Alors $(\sum A^k)X$ converge vers $BX$ (continuité de $A\mapsto AX$ ?)
    Je comprends ta remarque : en fait, pas besoin de changement de base pour la décomposition de Dunford.
  • bd2017
    Modifié (8 Feb)
    Bonjour Il me semble qu'on en a discuté il y a peu de temps sur le forum. 
    Pour tout $\epsilon> 0$  il existe une norme d'algèbre   telle que $||A||<\rho(A)+\epsilon.$
    Ce qui explique le théorème de @gebrane
     
  • oui je me suis mélangé les pinceaux ...  :/

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • john_john a dit :
    Curieusement, la série $\sum A^n$ converge si, et seulement si, $A^n\to0$.
    Ca ne marche pas pour les matrices 1x1, ni pour les matrices diagonales d'ordre $n$ quelconque....
  • Syntax_Error a dit :
    john_john a dit :
    Curieusement, la série $\sum A^n$ converge si, et seulement si, $A^n\to0$.
    Ca ne marche pas pour les matrices 1x1  Error
     $\sum a^n\, cv\iff |a|<1\iff a^n \to 0$
    Le 😄 Farceur


  • gebrane a dit :
    Syntax_Error a dit :
    john_john a dit :
    Curieusement, la série $\sum A^n$ converge si, et seulement si, $A^n\to0$.
    Ca ne marche pas pour les matrices 1x1  Error
     $\sum a^n\, cv\iff |a|<1\iff a^n \to 0$
    Ah oui, excuse moi, dans  mon esprit le $n$ était en indice (!!)
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