Agrégation interne - sujet 2 - partie IV

LeVioloniste

Alexique

Je vais faire volontairement une rédaction bâclée qui te ressemble. Donc il y a les idées mais probablement que sans plus d'efforts, ça ne vaudrait rien sur une copie.

37) Une primitive de $f$ est $F:x \mapsto e^{-e^{-x}}$. On peut donc sans mal vérifier que $\int_R f = 1$.
38) $F$ est la fonction de répartition de $f$.
39) $xf(x)=o(\frac{1}{x^2})$ et $x^2f(x)=o(\frac{1}{x^2})$ et $f$ est continue sur R. On a donc l'existence de l'espérance et de la variance de X.
40)a. On effectue le changement de variable $t=e^{-x}$.
b. On applique le théorème de convergence dominé en majorant $(1-\frac{t}{n})^n$ par sa limite simple $e^{-t}$. 
c. On développe le polynôme par le binome de Newton pour obtenir des fonctions à primitiver de la forme $t^k\ln(t)$ ce qui se fait par IPP. 
d. On combine les 3 questions précédentes et le DL asymptotique de $H_n$ pour obtenir l'espérance $\gamma$.
41) Le théorème de transfert ainsi que le changement $t=e^{-x}$ donne encore une fois le résultat.
42a) $H_n^2=\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2}+2\sum_{i<j} \frac{1}{ij}$ avec $\sum_{i<j} \frac{1}{ij}= \sum_{j=2}^n \sum_{i=1}^{j-1} \frac{1}{ij}=\sum_{j=2}^n \frac{1}{j}H_{j-1}=\sum_{j=2}^n \frac{H_j-\frac{1}{j}}{j}=\sum_{j=2}^n \frac{H_j}{j}-\frac{1}{j^2}$ d'où le résultat.
b. On obtient en combinant ce qui précède et l'exo sur la somme des inverses des carrés que la variance vaut $\frac{\pi^2}{6}$.

bd2017

ok  ***le problème Latex a disparu***

LeVioloniste

Q37

$f$ est à  valeur positive et continue

Ensuite $e^{-e^{-x}}$ admet pour dérivée $(e^{-e^{-x}})'=e^{-x}.e^{-e^{-x}}$

$\displaystyle {\int_\mathbb{R} e^{-x}.e^{-e^{-x}} dx = lim_{A \mapsto +\infty} \big[ e^{-e^{-x}}  \big]_{-A}^A = 1-0 = 1}$

Donc $f$ est bien une densité de probabilité.

LeVioloniste

Q38

La fonction de répartion vérifie $\forall x \in \mathbb{R}, \displaystyle{F(x)=\int_{-\infty}^x e^{-t}.e^{-e^{-t}} dt = e^{-e^{-x}} }$

Elle est bien de classe $\mathcal{C}^1$ avec $lim_{x \mapsto +\infty} e^{-e^{-x}} =1$ et $lim_{x \mapsto -\infty} e^{-e^{-x}} =0$

LeVioloniste

Q39

Pour l'expérance, $\displaystyle{ \int_{-\infty}^{-\infty} t.e^{-t}.e^{-e^{-t}} dt  }$ existe-t-elle ?

Oui car par comparaison avec les intégrales de Bertrand :

$t^2. t.e^{-t}.e^{-e^{-t}} \mapsto 0$ quand $t \mapsto -\infty$ ou $t \mapsto +\infty$ donc $f(t)=o_{-/+\infty}(\frac{1}{t^2})$ donc intégrable.

Pour la variance il faut vérifier que le moment d'ordre 2 existe, cad $\displaystyle{ \int_{-\infty}^{-\infty} t^2.e^{-t}.e^{-e^{-t}} dt  }$ existe.

Même raisonnement donc $\mathbb{E}(X^2)$ existe donc la variance existe.

LeVioloniste

Q40a

On a vu que l'espérance existe

$\displaystyle{ \mathbb{E}(X) = \int_{-\infty}^{-\infty} t.e^{-t}.e^{-e^{-t}} dt  }$

Effectuons le changement de variable $\mathcal{C}^1$ difféomorphisme $u=e^{-t}$
$\displaystyle{ \mathbb{E}(X) = \int_{+\infty}^{0} -ln(u).u.e^{-u} \frac{-du}{u} = - \int_{0}^{+\infty} ln(u).e^{-u} du } $

LeVioloniste

Q40b

Je cherche un encadrement intelligent de $(1-\frac{t}{n})^n$ avant de passer à la limite. Je rêve d'une preuve élégante.

bd2017

Grillé pour la  preuve élégante par @Alexique.

kenshiro0

Et O shine  où est-il ?

OShine

Je ne traiterai pas ce sujet. Je n'ai pas vu tout le cours qui correspond au sujet.

Je compte bosser le cours de sup que je n'ai pas encore travaillé : familles sommables, fonctions de deux variables.

Et le cours de spé : endomorphismes d'un espace euclidien, intégration sur un intervalle quelconque, suites et séries de fonctions, séries entières, intégrales à paramètres, dénombrabilité, espaces probabilisés, conditionnement indépendance, espérance variance, équations différentielles linéaires, calcul différentiel.

Soit 13 chapitres.
Je vais essayer de traiter un chapitre toutes les 2 semaines, ce qui me fait 6 mois de travail.
Puis les 6 derniers mois, je traiterai des sujets d'écrit, ou des leçons d'oral.

LeVioloniste

@bd2017

Oui c'est peut-être une preuve élégante mais traiter le $n$ à la fois comme borne d'intégrale et dans l'intégrande je n'ai jamais fais cela et je pense qu'il faut prendre des précautions. Je cherche une solution qui correspond à mon niveau de connaissances en mathématiques.

Je connais la théorie de Lebesgue donc pas de soucis.

LeVioloniste

@gebrane
À l'aide mon cousin !
Peux-tu lire le fil et notamment ce qui concerne Q49c.
Je voudrais traiter cette question avec un encadrement de $(1-\frac{t}{n})^n$
Il existe $x-x^2/2 \leq \ln(1+x) \leq x$ dans mes connaissances je ne connais rien sur $ \ln(1-x)$ et je n'ai rien trouvé dans les livres.
Merci mon cousin de me lire.

gebrane

Lire le fil no no no,
participer no no no

Alexique

C'est vrai que c'est super dur de majorer $\ln(1-x)$ quand on sait déjà que $\ln(1+x)\leq x$... Mais après si aucun livre n'en parle, c'est peut-être non trivial. 

LeVioloniste

Cette technique ne marche pas j’ai essayé.

gebrane

Le violoniste, je ne sais pas ce que tu cherches mais $(1-\frac{t}{n})^n$ est majorée ( par croissance) par sa limite $e^{-t}$

LeVioloniste

Bien alors je vais suivre ton idée : $\forall t \in \mathbb{R}^+$

$p(t)=(1-t/n)^n=e^{n\ln(1-t/n)} = e^{n.(-\frac{t}{n}-\frac{t^2}{2n^2}) + o(\frac{1}{n^2})}= e^{-t-\frac{t^2}{2n}+ o(\frac{1}{n})} =e^{-t}. e^{-\frac{t^2}{2n}} + o(\frac{1}{n})$ alors $p(t)=(1-t/n)^n \leq e^{-t}$

Mais dans ce cas seule la technique utilisant le  théorème de convergence dominé marche car on n'a pas l'encadrement que je souhaitais.

Continuons avec ce théorème de convergence dominé :

$\forall t \in \mathbb{R}^+$,  posons $f_n(t)=(1-t/n)^n\ln(t) < e^{-t}\ln(t) = f(t)$

Avec le développement limité on a donc que les $f_n$ convergent vers $f$ simplement

On a aussi la domination des $f_n$ par $f$

On peut donc inverser les signes $lim$ et $\int$ et on a :

$\displaystyle{ \lim_{n \mapsto +\infty} \int_{\mathbb{R}^+} f_n(t) dt = \int_{\mathbb{R}^+} \lim_{n \mapsto +\infty} f_n(t) dt }$

Donc $\displaystyle{ \lim_{n \mapsto +\infty} \int_{\mathbb{R}^+} f_n(t) dt=\int_{\mathbb{R}^+}  e^{-t}\ln(t) dt }$

Remarque : le fait d'utiliser dans l'énoncé à la fois le $n$ dans la borne d'intégration et l'intégrande est particulièrement sale.

Cela m'a gêné pour traiter l'exercice.
J'ai ainsi dans ma rédaction omis cette notation de l'énoncé abusive et intellectuellement incorrecte de mon point de vue.

Et quant à ceux qui aiment critiquer qu'ils aillent lire l'énoncé du  théorème et voir que les bornes de l'intégrale sont fixes.

EDIT : Merci à @gebrane de rappeler que le développement asymptotique n'a de sens que pour de grandes valeurs de $n$.

gebrane

$p(t)=(1-t/n)^n \leq e^{-t}$ pour n assez grand 

LeVioloniste

Oui en effet j'aurais dû l'écrire.

LeVioloniste

@kenshiro0. @OShine travaille sur le sujet 1 et avance bien sur le sujet. Il travaille avec beaucoup de courage et s'il continue ainsi il sera agrégé l'an prochain, j'ai confiance en lui.

Tu pourrais donc poster tes solutions si cela t'intéresse, au lieu de t'occuper d'un collègue qui travaille sérieusement. Quel est la valeur ajoutée de ton message pour le fil ?

À bon entendeur.

LeVioloniste

Q37c
La forme sommatoire de $H_n$ appelle à trouver une sommation, ici développer en somme $\displaystyle{ p(t)=(1-t/n)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} (\frac{t}{n})^k }$

Le calcul par récurrence pour $k \in \mathbb{N}$ de $\displaystyle{\int_{0}^n t^k\ln(t) dt  }$ s'impose ...

$\displaystyle{\int_{0}^n t^k\ln(t) dt = \frac{n^{k+1}[(k+1)\ln(n) -1] }{ (k+1)^2} }$

On effectue donc les calculs :

$\displaystyle{\int_{0}^n (1-t/n)^n\ln(t) dt  =\int_{0}^n  \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} (\frac{t}{n})^k  \ln(t) dt }$ par linéarité de l'intégrale je peux intervertir les signes somme et intégrale : 

$\displaystyle{\int_{0}^n (1-t/n)^n\ln(t) dt  = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} . \int_{0}^n t^k\ln(t) dt = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} .\frac{n^{k+1}[(k+1)\ln(n) -1] }{ (k+1)^2} =  \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} n . (\frac{\ln(n)}{k+1} -\frac{1}{(k+1)^2} )  = n \ln(n).\sum_{k=0}^n (-1)^k.\binom{n}{k}.\frac{1}{k+1} - n.\sum_{k=0}^n (-1)^k.\binom{n}{k}.\frac{1}{(k+1)^2} } $

Maintenant il reste à prouver que $\displaystyle{\sum_{k=0}^n (-1)^k.\binom{n}{k}.\frac{1}{k+1}=\frac{1}{n+1} } $

Puis il reste à prouver que $\displaystyle{\sum_{k=0}^n (-1)^k.\binom{n}{k}.\frac{1}{(k+1)^2}=\frac{H_{n+1}}{n+1} } $

pour que cela colle à la réponse.

Je réfléchis avec $\displaystyle{\binom{n}{k}.\frac{1}{k+1}=\binom{n}{k+1}.\frac{1}{n-k} }$ avec $k \neq n$ mais j"ai des doutes ... ou avec du télescopage dans les sommes.

On verra demain  !

Alexique

LeVioloniste a dit :
Et quant à ceux qui aiment critiquer qu'ils aillent lire l'énoncé du  théorème et voir que les bornes de l'intégrale sont fixes.

Oui, mais en réfléchissant beaucoup beaucoup, $\int_0^n f_n = \int_{\mathbb{R}_+} f_n \mathbb{1}_{[0,n]}$ et magie, plus de $n$ dans les bornes ! On intègre alors une fonction qui n'est plus que continue par morceaux sur un intervalle ($\mathbb{R}_+)$ et c'est largement suffisant pour le théorème de convergence dominée. Donc je critique ceux qui ne savent pas quand je sais de quoi je parle (tu remarqueras qu'en algèbre, j'interviens globalement jamais). Après, si tu n'aimes pas la critique, peut-être vaut-il mieux ne pas poster tes réflexions sur un forum public de gens qui sont normalement connaisseurs. 

LeVioloniste

La notation que tu proposes est propre aux probabilités et dans ces questions d'analyse la notation de la fonction indicatrice n'existe pas.

D'ailleurs dans tout le sujet elle n'apparaît jamais.

Dans tous les livres que j'ai lus on ne fait pas ce genre de raisonnement. Donc ce que je propose est conforme à l'esprit et à une certaine tradition mathématique.

Quant à tes posts sur les fils que j'ai pu lire de ta part, il est clair pour moi que tu n'as le profil du matheux passé par les classes prépas. Plutôt quelqu'un qui a utilisé les maths dans le cadre précis de l’économie.

Alexique

Pfff, n'importe quoi. J'ai fait prépa, passé l'agreg et bien d'autres choses. Tu es tellement méprisant, c'est insupportable. 
"La notion de fonction indicatrice n'existe pas" Hein ?
"Dans tout le sujet, elle n'apparait pas " Hein ? Et alors ? 
"Dans tous les livres que j'ai lus on ne fait pas ce genre de raisonnement. Donc ce que je propose est conforme à l'esprit et à une certaine tradition mathématique."
Ci-joint l'exo classique corrigé que tu peux trouver mille fois sur le net si tu savais faire une requête google. 


Tu es un guignol et je n'interviendrai plus sur tes topics, chose que j'aurais du faire il y a bien longtemps. Bon vent.

LeVioloniste

Je confirme néanmoins que ce n'est pas utilisé en analyse, dans les livres que j'ai lus il y a fort longtemps. Dans tous mes livres de probas j'ai l'indicatrice apparaît partout. Je suis  de la vieille école. Peut-être des choses ont changé. Par exemple en algèbre le polynôme caractéristique s'écrit à l'envers maintenant $det(X.I_n-A)$ alors que j'utilisais $det(A-X.I_n)$.

En tout cas tu as fait juste et moi aussi.

Je ne méprise personne.

LeVioloniste

Je trouve que cette partie demande une certaine maîtrise calculatoire et un bon savoir faire technique.

bd2017

LeVioloniste a dit :

Quant à tes posts sur les fils que j'ai pu lire de ta part, il est clair pour moi que tu n'as le profil du matheux passé par les classes 

prépas. Plutôt quelqu'un qui a utilisé les maths dans le cadre précis de l’économie.

En tout cas @Levioloniste tu es ingrat et insultant envers quelqu'un qui t'a bien aidé en statistiques. On ne voit presque  personne intervenir dans cette discipline.

Quant au commentaire sur le fait qu'une personne est passée ou non par les classes prépa c'est piteux.

JLapin

En tout cas tu as fait juste et moi aussi.

Non, ta preuve n'est pas correcte puisque tu as travaillé sur l'intégrale $\int_0^{+\infty} (1-t/n)^n \ln tdt$ et pas sur l'intégrale de l'énoncé.

∀t∈R+,  posons $f_n(t)=(1−t/n)^n\ln(t)$

gebrane

Le violoniste tu te fais des ennemis gratuitement pourquoi ?

LeVioloniste

Peu importe, la seule chose qui m’intéresse ce sont les maths. 

Alexique

Violoniste a dit :

Dans tous les livres que j'ai lus on ne fait pas ce genre de raisonnement. Donc ce que je propose est conforme à l'esprit et à une certaine tradition mathématique.

Quant à tes posts sur les fils que j'ai pu lire de ta part, il est clair pour moi que tu n'as le profil du matheux passé par les classes prépas. 

Dans l'autre topic, pour montrer que $t\mapsto \sum_n \mathbb{P}(X=n)e^{itn}$ est continue, je te suggère d'aller voir un cours de suite et série de fonctions, tu dis "transformée de Fourier", tu utilises des notations comme $\int d\mathbb{P}(u)$ et c'est moi qui sort du cadre et du programme de prépa ? Qui fait des maths non traditionnelles ? Tu vas te moquer du monde encore longtemps ? 

gebrane

Avec cette réponse Peu importe, la seule chose qui m’intéresse ce sont les maths, tu vas te retrouver à faire seul les maths dans ce forum

Vassillia

Bonjour,
Si seulement tu avais raison gebrane, si seulement c'était vrai qu'il soit nécessaire de se montrer respecteux pour avoir des réponses.
Mais même pas, la triste réalité, c'est que les questions sont moins nombreuses que les réponses donc ce sont les demandeurs qui peuvent se permettre des exigences, pas les aidants.
Certains intervenants sont tellement en manque de maths ou ont tellement besoin de montrer qu'ils savent faire qu'on peut leur parler n'importe comment et ils te feront ton exercice quand même alors pourquoi se priver ? OShine l'a bien compris, LeVioloniste aussi...
Bref, je croise les doigts pour que tu sois entendu gebrane mais je n'y crois plus.

bd2017

@Vassillia toi qui a toujours les mots pour dire, ici @Oshine sollicite encore une aide pour une question d'algèbre, est-ce [que] je dois lui répondre pour montrer que je sais faire ou  bien je passe au dessus pour travailler ma musique ?

gebrane

Vassilia tu exagères en disant qu on participe activement au forum pour montrer qu' on sait faire. Certains membres ici comme bd Jlapin...assurent la survie du forum. Pour ton cas, tu participes occasionnellement dans des questions purement mathématiques et personne ne te dit que tu ne sais pas faire

Vassillia

J'ai mis un "ou", si tu me dis que tu ne te reconnais que dans la première partie, c'est bon pour moi.

Je vois bien pour bd2017, JLapin... mais il me semble qu'ils gagneraient à n'aider que celles et ceux qui font l'effort de travailler et veulent apprendre tout en profitant du temps économisé pour faire de la musique ou autre chose. Mais ils sont grands, ils savent ce qu'ils ont à faire, je dis juste que c'est prévisible qu'il n'y ait pas de respect quand celui-ci n'est pas exigé.

gebrane

Donc, tu me prends pour quelqu'un qui est tellement en manque de maths.
Je change d'avis. donc : 
Vassilia ne participe pas dans les questions mathématiques, sauf dans les questions para-mathématiques, car elle ne sait pas faire, et ça me va bien. 😄

Vassillia

Ah ça c'est certain, je ne sais pas aider les personnes concernées mais vous non plus en fait (et c'est normal, personne ne peut)

JLapin

il me semble qu'ils gagneraient à n'aider que celles et ceux qui font l'effort de travailler

Concernant les messages de Violoniste, je me contente de signaler les très grosses erreurs pour un éventuel lecteur silencieux qui se laisserait berner.

LeVioloniste

Q37c

Alors je pense qu'il n'y a pas d'erreur pour le moment dans mes calculs, grâce à des essais : je pense être sur la bonne voie.

LeVioloniste

Suite
$\displaystyle{\sum_{k=0}^n (-1)^k.\binom{n}{k}.\frac{1}{k+1}= \sum_{k=0}^n (-1)^k.\binom{n}{k}. \int_0^k t^k dt }$ puis par linéarité de l'intégrale,

$\displaystyle{\sum_{k=0}^n (-1)^k.\binom{n}{k}.\frac{1}{k+1 } = \sum_{k=0}^n (-1)^k.\binom{n}{k} \int_0^1 t^k dt = \int_0^1 \sum_{k=0}^n (-1)^k.\binom{n}{k}.t^k dt = \int_0^1 (1-t)^n dt =\big[-\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1} \big]_0^1 = \frac{1}{n+1} }$

$\displaystyle{\sum_{k=0}^n (-1)^k.\binom{n}{k}.\frac{1}{(k+1)^2}=} $
Là j'ai envie de prendre $\displaystyle{ \int_0^1 \frac{-2}{k+t^3} dt = \frac{1}{(k+1)^2}-\frac{1}{k^2} }$ mais je ne suis pas convaincu.
Je ne trouve pas $\varphi$ telle que $\displaystyle{\int_{0}^1 \varphi(t) dt =\frac{1}{(k+1)^2} }$ si cela est la bonne idée
À revoir !

LeVioloniste

Q40d

On a vu successivement :

$\displaystyle{ \mathbb{E}(X) = - \int_{0}^{+\infty} ln(u).e^{-u} du = lim_{n \mapsto +\infty } \frac{n}{n+1} (ln(n)-H_{n+1}) = lim_{n \mapsto +\infty } \frac{n}{n+1} (ln(n)-ln(n+1) - \gamma + o(1)) = - \gamma } $

LeVioloniste

Q41

On a déjà justifié l"existence de $\displaystyle{\mathbb{E}(X^2) = \int_{-\infty}^{-\infty} t^2.e^{-t}.e^{-e^{-t}} dt  }$

Effectuons le changement de variable $\mathcal{C}^1$ difféomorphisme $u=e^{-t}$
$\displaystyle{ \mathbb{E}(X) = \int_{+\infty}^{0} (ln(u))^2.u.e^{-u} \frac{-du}{u} =  \int_{0}^{+\infty} (ln(u))^2.e^{-u} du } $

J'ai essayé l'IPP mais elle n'aboutit pas.

bd2017

En attendant ta solution élégante voici mon calcul pourri.

LeVioloniste

Q42a

On pense à utiliser la généralisation d'une identité remarquable

$\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^n\,x_i\right)^2= \left(\sum_{i=1}^n\,x_i\right)\left(\sum_{j=1}^n\,x_j\right) = \sum_{i=1}^n\,\sum_{j=1}^n\,x_ix_j = \sum_{i=1}^n\,x_i^2 \ +\ 2\!\sum_{1\leq i<j\leq n}\! x_ix_j}$

Ici : $x_i=\frac{1}{i}$

$\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^n\,\frac{1}{i} \right)^2= \sum_{i=1}^n\,\frac{1}{i^2} + 2 (\frac{1}{1} ) ( \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} )  +2 (\frac{1}{2} ) ( \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} ) + \cdots + 2 (\frac{1}{n-1} )  (\frac{1}{n} ) }$

$\displaystyle{= \sum_{i=1}^n\,\frac{1}{i^2} + 2 [(\frac{1}{1} ) ( \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} )  + (\frac{1}{2} ) ( \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} ) + \cdots +  (\frac{1}{n-1} )  (\frac{1}{n} ) ] }$

$\displaystyle{= \sum_{i=1}^n\,\frac{1}{i^2} + 2 [(\frac{1}{n} ) ( \frac{1}{1} + \cdots + \frac{1}{n-1} )  + (\frac{1}{n-1} ) ( \frac{1}{1} + \cdots + \frac{1}{n-2} ) + \cdots +  (\frac{1}{2} )  (\frac{1}{1} ) ] }$

$\displaystyle{= \sum_{i=1}^n\,\frac{1}{i^2} + 2 [(\frac{1}{n} ) ( H_{n-1} )  + (\frac{1}{n-1} ) ( H_{n-2} ) + \cdots +  (\frac{1}{2} )  (H_1 ) ] }$

Or on a pour $n \geq 2$, $H_{n-1}=H_n - \frac{1}{n}$

$\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^n\,\frac{1}{i} \right)^2= \sum_{i=1}^n\,\frac{1}{i^2} + 2 [(\frac{1}{n} ) ( H_n - \frac{1}{n} )  + (\frac{1}{n-1} ) ( H_{n-1} - \frac{1}{n-1}) + \cdots +  (\frac{1}{2} )  (H_2  - \frac{1}{2}) ] }$

$\displaystyle{= \sum_{i=1}^n\,\frac{1}{i^2} + 2 [(\frac{1}{n} ) ( H_n - \frac{1}{n} )  + (\frac{1}{n-1} ) ( H_{n-1} - \frac{1}{n-1}) + \cdots +  (\frac{1}{2} )  (H_2  - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{1} )  (H_1  - \frac{1}{1})] }$

$\displaystyle{= \sum_{i=1}^n\,\frac{1}{i^2} + 2  \sum_{i=1}^n\,- \frac{1}{i^2} + 2  \sum_{i=1}^n \frac{H_i}{i} }$

On a montré $\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^n\,\frac{1}{i} \right)^2= - \sum_{i=1}^n\,\frac{1}{i^2} + 2  \sum_{i=1}^n \frac{H_i}{i} }$

Et on a alors $\displaystyle{ H_n^2 + \sum_{i=1}^n\,\frac{1}{i^2} = 2  \sum_{i=1}^n \frac{H_i}{i} }$

plsryef

Bonsoir je réalise mes erreurs et j'ai tenté de "grapiller" des points sur la fin des 6 heures de l'épreuve,

la fonction $\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^{+}, t \rightarrow e^{-t}$ étant convexe, le graphe de cette fonction est au dessus de la tangente du graphe de cette fonction en 0, i.e $ \forall t \in \mathbb{R}, e^{-t} \geq 1-t$

pour les valeurs  de $t$, et $\forall n \in \mathbb{N}$ puisque la fonction $\mathbb{R}^{+} \mapsto \mathbb{R}^{+}, t \rightarrow \frac{x}{n}$ est croisssante cela donne après composition à droite par cette fonction $ \forall t \in \mathbb{R}, e^{\frac{-t}{n}} \chi_{[0,n]}(t) \geq (1-\frac{t}{n})\chi_{[0,n]}(t)$

puisque inégalité précédente portant sur des valeurs positives, par croissance de $ \mathbb{R}^{+}\mapsto \mathbb{R}^{+},t \rightarrow t^{n}$,  on a $\forall t \in \mathbb{R} (1-\frac{t}{n})^{n}\chi_{[0,n]}(t) \leq e^{-t}\chi_{[0,n]}(t)$

en particulier : $\forall n \in \mathbb{N},\forall t \in \mathbb{R} ,(1-\frac{t}{n})^{n}\chi_{[0,n]}(t) \leq e^{-t}\chi_{[0,n]}(t) \leq e^{-t}$

et puisque $ \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+} , t\mapsto e^{-t}$ est intégrable sur $\mathbb{R}^{+}$ d'après le théorème de convergence dominée... etc...

La rédaction de ces questions sont plus que délicates, comment faire mieux, de façon plus concise, rapide, je ne sais, mais je me pose la question, (je sais qu'il y a des erreurs dans ce que j'ai écrit, j'ai oublié de mentionner que $ \mathbb{R}^{+}\mapsto \mathbb{R}^{+},t \rightarrow \chi_{[0,n]}(t)$ est une fonction à valeurs positives, le latex n'aide pas pour rédiger sur un forum, mais ce n'est pas le cas sur une copie, car devant ta copie même une intégration par partie semble prendre tellement plus de temps qu'en situation "hors examen").

Je vois des crispations sur le forum, qu'elles soient motivées ou pas, cela m'échappe, j'ai la naïveté de penser que tous les intervenants sur le forum font de leur mieux, mais je sais aussi qu'il ne faut pas/plus être naïf.... peu importe.

LeVioloniste

@plsryef
Cher collègue ta rédaction va plaire à @Alexique car tu as utilisé à bon escient la fonction caractéristique, qui permet de ne pas écrire $n$ dans une borne d'intégration et une fonction à intégrer.
Il y a de ma compréhension 2 choses à dire pour justifier l'utilisation du théorème de convergence dominée :
- la convergence simple des fonctions $\varphi_n$ vers $\varphi$ et bien définir ces fonctions.
- ensuite comme tu l'as très bien écrit l'hypothèse de domination des $\varphi_n$
Et donc évoquer ce magnifique théorème.
J'ai essayé d'autres méthodes mais sans succès.
J'aime bien écrire dans la conclusion les signes $\int$ et $lim$ qui s'inversent comme je l'ai écrit plus haut.

Je te remercie pour ta contribution et saches que si tu vois/lis des crispations, c'est de ma faute car je suis un bien piètre mathématicien à côté de tous les intervenants qui me descendent à juste titre. Tu te rendras compte, si tu lis régulièrement ce forum, qu'ils font vivre le forum et que je suis bien triste qu'ils soient si peu nombreux.
Comme tu peux le voir pour les 2 sujets d'agrégation, très peu de personnes proposent d'écrire des solutions. @OShine est le plus courageux de tous.
Il est de loin en première ligne et un vaillant guerrier.

Voilà ce que je souhaitais partager avec toi.

LeVioloniste

@bd2017
Non ta solution transpire l'intelligence. Tu as réussi à coup de changements de variable à résoudre la question.
Si tu regardes mon post plus haut, penses-tu qu'on puisse trouver une fonction pour intervertir somme et intégrale pour $\displaystyle{\sum_{k=0}^n (-1)^k.\binom{n}{k}.\frac{1}{(k+1)^2}} $ ?
Tu vois que je cherche sérieusement mais que je n'arrive pas à aboutir malgré une certaine recherche .

Merci en tout cas pour ce que tu fais : tu es le seul à traiter les 2 sujets de l'agrégation en même temps.

bd2017

Bonsoir
À la louche comme ça ce que tu écris est correct.
Maintenant sur un forum ce n'est facile pour personne  d'écrire comme sur une copie.
L'essentiel est de te faire comprendre et d'éviter de dire trop de bêtises.

bd2017

Une chose est certaine c'est que je respire.
Oui, on peut faire comme @Alexique avait dit. On travaille alors avec le binôme de Newton et des sommes finies.  
Mais c'est une peu plus calculatoire mais interéssant du point de vue calcul. On est donc amené à savoir calculer la somme que tu demandes, notée sur mon brouillon ci-joint $\Omega$.