Agrégation interne - sujet 2 - partie III

LeVioloniste

LeVioloniste

Q34

On a $Y \sim \mathcal{G}(p)$, $\forall t \in \mathbb{R}$, $\Phi_X(t)=\mathbb{E}(exp(itX))$ vaut avec le théorème de transfert :

$\displaystyle{\Phi_X(t)=  \sum_{k=1}^{\infty}  P(Y=k) \, e^{itk} =   \sum_{k=1}^{\infty}  q^{k-1}p \, e^{itk} = \frac{p}{q} \sum_{k=1}^{+\infty} (qe^{it})^k = \frac{p}{q}\frac{qe^{it}}{1-qe^{it}} = \frac{pe^{it}}{1-qe^{it}} }$

Par contre j'ai un doute sur le support de la loi géométrique : le '0' est-il dans le support ? Il me semble intellectuellement plus juste de le supprimer.

Avis aux puristes.

LeVioloniste

Q35a
Je ne sais pas trop ce qui est attendu ici. Doit-on séparer partie réelle et imaginaire puis utiliser les théorèmes standards ?

Personnellement  je préfère utiliser l'uniforme continuité avec les valeurs absolues pour contourner le problème dans les complexes.

$\forall t,h \in \mathbb{R},\ \displaystyle{|\Phi_X(t+h)-\Phi_X(t)|=\Big| \int_\mathbb{R} e^{i(t+h).x} - e^{itx} d\mathbb{P}(x) \Big|  \leq  \int_\mathbb{R} \Big| e^{i(t+h).x} - e^{itx} \Big| d\mathbb{P}(x) = \int_\mathbb{R} |e^{ith}| \Big| e^{itx} - 1 \Big| d\mathbb{P}(x) =  \int_\mathbb{R} \Big| e^{itx} - 1 \Big| d\mathbb{P}(x) }$

On a que $\Big| e^{itx} - 1 \Big| \leq 2$ donc on a l'hypothèse de domination

et $x \mapsto \Big| e^{itx} - 1 \Big| \mapsto 0$ qd $h \mapsto 0$

Alors $ \displaystyle{|\Phi_X(t+h)-\Phi_X(t)| \mapsto 0 }$ d'où l'informe continuité.

Ainsi $\Phi_X$ est continue sur $ \mathbb{R}$.

$\forall t \in \mathbb{R},\ \displaystyle{|\Phi_X(t)| =\Big| \mathbb{E}(exp(itX)) \Big| \leq \mathbb{E}(\Big| exp(itX) \Big|) \leq \mathbb{E}(1) = 1}$

Donc c'est borné par 1.

EDIT : J'ai enlevé les $h$ en trop

LeVioloniste

Q35b

$\forall t \in \mathbb{R}$, $\displaystyle{\Phi_X(t)=\mathbb{E}(exp(itX)) =  \sum_{k=0}^{\infty}  P(X=k) \, e^{itk} }$

A-t-on le droit ici d'utiliser la transformée de Fourier pour justifier la classe $\mathcal{C}^1$ ?

Une autre piste est le lien avec les fonctions génératrices $\displaystyle{\Phi_X(t)=Q_X(e^{it}) }$

Je vais réfléchir. Ou pour parler comme @OShine je bloque ici.

bd2017

La question 35, il faut lire! La variable aléatoire est à valeurs dans $\N.$

Vas-y avec la transformée de Fourier😅. La transformée de Fourier de $\Phi_X$ sera à prendre au sens des distributions! 
Édit quant à l'affirmation de l'uniforme continuité, je ne vois pas la justification.

LeVioloniste

Oui la transformée de Fourier discrète cela existe. Il y a même un livre de Gabriel Peyre qui en parle.

EDIT : j'ai rajouté discrète

bd2017

Au fur et  à mesures des messages tu ne corriges jamais les erreurs qu'on (que j'ai) relevées.

Ici tu contournes ma remarque par une vague réponse  pour passer à autre chose. 

Dire que la transformée existe ou me citer un livre  comme seule réponse à ma remarque c'est vite dit.

Je n'ai pas parlé de l'existence de la transformée de Fourier.

Ici, on a un exemple avec la loi géométrique. Sa fonction caractéristique  appartient à quel espace fonctionnel ? Ton idée évoque la transformée de Fourier en quel sens ? 

Et puis que ferais-tu avec cette transformée de Fourier pour répondre à la question ? 

Autre erreur,  la continuité uniforme. L'uniformité n'est pas demandée. Mais puisque tu le dis où est la justification ? Je ne la vois pas, j'aimerais bien que tu l'expliques.

Pour montrer que la fonction caractéristique est continue, pourquoi n'as-tu pas utilisé que la variable aléatoire est à valeurs dans $\N$ ?

kenshiro0

LeVioloniste

Intéressant...contrairement à O seine...

[Inutile de recopier le message initial. AD]

LeVioloniste

@bd2017
Je réfléchis ici et j'ai besoin de temps pour trouver.
Tu as peut-être plus de facilités que moi en maths.
Il y en a plein de gens comme cela sur ce forum.

Pour l'uniforme continuité je me suis débarrassé de la variable $x$ pour trouver la majoration et appliquer l'uniforme continuité.
J'ai eu en tête d'utiliser uniforme continuité implique continuité. J'en ai tout à fait le droit, et c'est ce qui m'est venu à l'esprit.
Je vais essayer de faire juste la continuité comme tu le proposes ce soir.

Alexique

Sauf qu'en l'occurence, il existe un cours (que tu ne connais visiblement pas) intitulé "suite et série de fonctions" souvent enseigné en 2eme année qui répond exactement aux questions du type "Quand est-ce qu'une fonction de la forme $t \mapsto \sum_n f_n(t)$ est continue/dérivable/C1 ?...". Ca n'a rien à voir avec le fait d'avoir des facilités, ou d'être brillant. Il faut lire le cours, le comprendre et l'appliquer. 

bd2017

Bonjour 

Ce que dit @alexique , je suis d'accord. Mais le fait que tu démontres la continuité uniforme ne me dérange pas. Ce qui me dérange c'est je ne vois pas la justification.

LeVioloniste

Q35a
Reprenons la question de l'uniforme continuité avec la définition : soit $f$ sur un intervalle $I$.
$\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall (x,y)\in I^2,\ |x-y|<\delta\implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon$
Ici $\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0, \forall (x,y=x+h)\in I^2, |x-y|<\delta$ alors $\displaystyle{|\Phi_X(y)-\Phi_X(x)| \leq \int_\mathbb{R} \Big| e^{itx} - 1 \Big| d\mathbb{P}(x) }$
Le théorème de convergence dominée donne $\displaystyle{ \int_\mathbb{R} \Big| e^{itu} - 1 \Big| d\mathbb{P}(u) }$ tend vers 0 ce qui s'écrit
$\displaystyle{|\Phi_X(y)-\Phi_X(x)| \leq \varepsilon }$

Où est le problème @bd2017 ?

bd2017

C'est faux ! Mais j'abandonne.

LeVioloniste

J’essayerai une démonstration avec la continuité franchement je ne comprends pas où est mon erreur.
et je ne l’écrirai pas sur le forum je la garde pour moi.

noobey

Bon ce qui est attendu : 

$E[e^{itX}]=\sum_{n=0}^{\infty} P(X=n)e^{itn}$

Mais $|P(X=n)e^{itn}| \leq P(X=n)$ et $\sum P(X=n) = 1 < \infty$  donc

1) La série est normalement convergente sur $\mathbb{R}$ donc $\phi$ est continue
2) $\phi$ est bornée par $1$

bd2017

Enfin.! 
On peut faire mieux même si ce n'est pas demandé. En effet la fonction est uniformément continue sur $\R$
Je pense que c'est à la portée de n'importe quel élève de classe prépa .
On peut proposer deux démonstrations différentes dont une uniquement à partir de la définition.