Montrer que cette application est continue

UItraviolet

Bonsoir à tous, en faisant les exercices du Gourdon je tombe en lisant la résolution d'un exo sur une assertion trivialement passée qui me fait me remettre profondément en question. On dit que cette application est continue : 

$\begin{array}{r l}{f:{}}&{\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}_{n}[X]}&{{}\left(\lambda_{1},\cdot\cdot\cdot,\lambda_{n}\right)\mapsto(X-\lambda_{1})\cdot\cdot\cdot\cdot(X-\lambda_{n})}\end{array}$

Or je n'ai pas la moindre idée de comment le prouver. Je n'ai jamais trop manipulé les différentes normes dans $\mathbb{R}_{n}[X]$ et la plupart de celles que je connais dépendent des coefficients des polynômes, et je n'ai pas trop d'idée comment ici on peut s'en sortir n'ayant que des informations sur les racines. Ou alors peut-être qu'on peut montrer qu'une telle norme est sous-multiplicative, et qu'alors l'application serait peut-être n-lipschitzienne. À vrai dire je pense que je dis n'importe quoi et je suis un peu perdu. 
Merci d'avance pour vos éclairements.

JLapin

Chaque application $(\lambda_i)\mapsto \lambda_k$ est continue donc chaque application $(\lambda_i)\mapsto X-\lambda_k$ est continue (somme d'une application constante et d'une application linéaire sur un ev de dimension finie.

Le produit des polynômes est multilinéaire sur $\R_1[X]^n$ qui est de dimension finie, à valeurs dans $\R_n[X]$, donc continu (et ceci quelle que soit la norme choisie sur l'espace d'arrivée puisque $\R_n[X]$ est aussi de dimension finie).

Donc $f$ est continue sur $\R^n$.

MrJ

Autre possibilité : si tu développes le polynôme de droite, les coefficients $\sigma_1,\ldots,\sigma_n$ du polynôme sont des fonctions polynomiales en $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$. donc elles sont continues. On en déduit que $f$ est continue (car ses fonctions coordonnés dans la base canonique sont continues).

gebrane

Soit $E$ un espace vectoriel sur $K$, $v\in E$ et $f_i: K^n\to E$ définie par $f_i(x)=f_i(x_1,...,x_n)=v-x_i$.

Cette application est définie si les scalaires sont aussi des vecteurs, par exemple si $E=\mathbb{R}_n[X]$ (les polynômes constants sont dans l'espace vectoriel) ou $E=F(K^n,K)$ (les applications constantes sont dans l'espace vectoriel). Par contre, cette application n'est pas définie si $E=M_n(K)$, $(n>1)$, car un scalaire n'est pas une matrice d'ordre $n$.

Du coup, dès que l'application $f_i$ est définie, peu importe si $E$ est de dimension finie ou non, cette application est continue car elle est la somme d'une application constante et d'une application linéaire (la $i$-ème projection de $K^n$). Bien sûr, on conclut par dire $f$ est le produit des $f_i$.
Tout ce blabla, pour dire que je ne vois pas où intervient le fait que $E$ soit nécessairement de dimension finie comme on le voit dans l'explication de @JLapin

JLapin

Je n'ai jamais écrit qu'il était nécessaire que $E$ soit de dimension finie.

gebrane

Il y a un problème vers la fin de  mon raisonnement. Je dois supposer que $E$ est une algèbre pour pouvoir définir  le produit des $f_i$ 

Exercice pour l'auteur de la question :
Soient $f, g: K^n \to E$ avec $E$ une algèbre sur le corps commutatif  $K$ munie d'une norme d'algèbre  $N$ . Soit $h = fg: K^n \to E$. Si $f$ et $g$ sont continues en $x_0 \in K^n$, démontrez ou réfutez que $h$ est continue en $x_0$.
Ajout, je t'aide $$N(h(x)-h(x_{0})\le N(g(x)-g(x_{0})N(f(x_{0}))+N(g(x))N(f(x)-f(x_{0})).$$

UItraviolet

Merci pour vos réponses toutes plus précises les unes que les autres. Ce forum est une vraie mine d'or. Juste, gebrane a dit :

cette application est continue car elle est la somme d'une application constante et d'une application linéaire (la $i$-ème projection de $K^n$).

On est d'accord que l'indéterminée $X$ peut être considérée comme une telle application constante dans $\mathbb{R}_{n}[X]$ ?

gebrane

$f\quad E\to F$ est une application constante s'il existe $v\in F$ tel que $\forall x\in E,\quad f(x)=v$
correction coquille

UItraviolet

Ok je crois que je viens d'avoir le déclic, c'était pas si compliqué en fait merci pour votre patience !