Les probabilités du jeu "risk"

blasselle

Bonjour à tous, je vous propose un problème basé sur le jeu de Risk

A Risk lorsque deux joueurs se battent pour un territoire ils procèdent ainsi.
 - Le joueur attaquant peut engager jusqu'à trois armées dans le combat et le joueur défenseur jusqu'à deux armées. Nous généraliserons ce concept à des joueurs engageant respectivement : $n+1$ et $n$ armées.
 - Chaque joueur lance autant de dés à 6 faces (on généralisera aussi avec des dés à $r$ faces) qu'il possède d'armées et classe ses dés du plus grand score obtenu au plus petit.
 - On regarde dans l'ordre, chaque pair de dés (le plus faible des dés de l'attaquant n'est donc pas utilisé dans le procédé) et à chaque fois que le dé de l'attaquant est strictement supérieur au dé du défenseur il gagne le combat, et dans le cas contraire c'est le défenseur qui gagne le combat.

Le but est de déterminer l'espérance du nombre de combats remportés par l'attaquant et de manière subsidiaire pour chaque valeur de $r$, quelle est la plus petite valeur de $n$ telle que cette espérance soit inférieure à $\frac{n}{2}$.

zeitnot

Avant la généralisation, l'attaquant engage 1, 2 ou 3 armées avec une probabilité uniforme ?

Ben314159

Salut,
Ayant beaucoup joué au Risk dans ma jeunesse, je me souviens surtout d'avoir calculé, en fonction des résultats de l'attaquant, si le défenseur avait intérêt à jeter plutôt un seul dé ou bien deux (dans le jeu, il choisi après que l'attaquant ait jeté ses dés).
Mais là, si j'ai bien compris, l'attaquant et le défenseur jettent systématiquement $n$ et $n\!-\!1$ dés avec $n$ fixé une bonne fois pour toute.  
C'est bien ça ?

blasselle

Si on en croit les règles du jeu, le joueur défenseur choisit ses armées en fonction du nombre d'armées l'attaquant mais avant le lancer des dés adverses (https://www.papj.fr/contentpapj/uploads/2021/05/Regle-du-jeu-Risk.pdf -,Page 5 - En tant que défenseur, quel doit être ma tactique).

Ici en effet je propose qu'on considère systématiquement que le combat se fasse entre $n+1$ armées et $n$ armées.


Par exemple pour $n=2$, on trouve :

Avec dés à 2 faces une espérance de : $19/2^5$
Avec dés à 3 faces une espérance de : $204/3^5$
Avec dés à 4 faces une espérance de : $984/4^5$
Avec dés à 5 faces une espérance de : $3226/5^5$
Avec dés à 6 faces une espérance de : $8391/6^5$

C'est donc avec un minimum de 4 faces que l'espérance devient plus grande que $n/2$.