Topologie faible

daniel.fr

Bonjour à tous,
j'ai des confusions concernant la topologie faible et j'aimerais obtenir des éclaircissements.

1. Concrètement, quels sont les ouverts de cette topologie ?
2. Quelle est la particularité de cette topologie ? Son utilité ?
3. Qu'en est-il de cette topologie lorsque l'espace topologique est normé (voire un Banach) ?
4. Mêmes questions pour la topologie dite faible *
Je vous remercie.

Poirot

1. Une base d'ouverts est donnée par les ouverts de la forme $\{x \in E \mid |\varphi_1(x)| < \varepsilon_1, \dots, |\varepsilon_n(x)| < \varepsilon_n\}$, où $\varphi_1, \dots, \varphi_n$ sont des formes linéaires continues (au sens de la topologie forte) et $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n > 0$. Donc les ouverts faibles sont exactement les réunions (quelconques) de tels ensembles. Ce qu'on peut dire en général c'est que tout ouvert faible est un ouvert fort, et qu'un ouvert faible n'est jamais borné en dimension infinie.

2. La topologie faible est la plus petite topologie sur ton espace $E$ telle que les éléments du dual topologique, c'est-à-dire les formes linéaires continues pour ta topologie forte, soit continus. En particulier, cette topologie contient moins d'ouverts que la topologie forte, donc "plus de compacts". On dispose donc de plus de théorème d'existence grâce à la topologie faible. La notion liée de convergence faible est fondamentale en analyse fonctionnelle.

3. Je ne sais pas quoi ajouter par rapport à $2$, je connais très peu les espaces vectoriels topologiques non normés.

4. La topologie faible-* est la topologie de la convergence simple sur $E'$, ou de manière équivalente, la topologie produit sur cet espace, vu comme sous-espace de l'espace des fonctions de $E$ dans $\mathbb R$. En particulier, c'est une topologie sur le dual d'un espace cette fois-ci. Là aussi on dispose de résultats de compacité bien pratiques, par exemple le théorème de Banach-Alaoglu qui nous donne la compacité de la boule unité de $E'$ pour la topologie faible-*.

Des analystes pourront certainement compléter ce que je raconte avec des choses concrètes.

daniel.fr

Désolé pour avoir répondu si tard,
Puisque vous avez évoqué la notion convergence faible. Pourquoi, dans la quasi totalité des ouvrages, on définit cette notion sans parler de la topologie faible ?

Poirot

Parce qu'elle peut être définie sans y faire mention tout simplement.