Agrégation interne - sujet 2 - partie II

LeVioloniste

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Q31.

Escroquons la question en construisant les éléments nécessaires à l'application de l'inégalité de HM :

On a $\forall x,y \in I$, $\forall t \in [0,1]$

$(u^{x-1}.e^{-u})^t.(u^{y-1}.e^{-u})^{1-t}=u^{t(x-1)}.u^{(y-1)(1-t)}.e^{-tu}.e^{-(1-t)u}=u^{tx-t}.u^{y-ty-1+t}.e^{-tu-u+ut}=u^{tx+y-ty-1}.e^{-u} = u^{tx+(1-t)y-1}.e^{-u} $

On a $\displaystyle{ \Gamma(tx+(1-t)y)= \int_0^{+\infty} u^{tx+(1-t)y-1}.e^{-u} du = \int_0^{+\infty} (u^{x-1}.e^{-u})^t.(u^{y-1}.e^{-u})^{1-t} du }$

On a applique l'inégalité de HM avec $t=\frac{1}{p}$ et $1-t=\frac{1}{q}$ et on vérifie bien $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

Alors $\displaystyle{ \int_0^{+\infty} (u^{x-1}.e^{-u})^t.(u^{y-1}.e^{-u})^{1-t} du \leq  [\int_0^{+\infty} (u^{x-1}.e^{-u}) du]^t. [\int_0^{+\infty}  (u^{y-1}.e^{-u} du]^{1-t}  }$

Donc $\displaystyle{ \Gamma(tx+(1-t)y) \leq \Gamma^t(x).\Gamma^{1-t}(y) }$

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La suite est intellectuellement superbe, c'est la réciproque et les 3 conditions données donnent que la fonction ne peut-être que $\Gamma$.

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Q32a

Soit $n$ entier.

Très facile, en passant de $\mathbb{R}$ à $\mathbb{N}$ on a $f(n+1)=n!$, en utilisant la 2ème caractérisation.

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Q32b

On procède par itérations, toujours en utilisant la 2ème caractérisation.

Soit $x>0$ $f(n+x)=(n+x-1).f(n+x-1)=\cdots=(n+x-1).\cdots.x.f(x)$

Donc $\displaystyle{ f(n+x)= (\prod_{k=0}^{n-1} (x+k)).f(x) }$ si $n \geq 1$

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Q32c

On utilise l'indication pour $x > 0$ et $n \geq 1$, avec la log convexité on a le $t$ qui ici est le $x$, le $x$ correspond au $n+1$ et le $y$ au $n$

$f(n+x)=f(x(n+1)+(1-x)n) \leq f^x(n+1).f^{1-x}(n)$ en utilisant la log-convexité

Or avec Q32a, $f(n+1)=n!$ et $f(n)=(n-1)!$ alors $f^x(n+1).f^{1-x}(n)=(n!)^x.((n-1)!)^{1-x}$

Là je ne vois pas, donc je vais aller me coucher ...

Bon $((n-1)!)^{1-x} \leq (n-1)!$, en fait $0<x\leq 1$ dans cette question.

Donc $f(n+x) \leq (n!)^x. (n-1)!$ je soupçonne l'oubli d'une factorielle ?

On attend $f(n+x) \leq (n)^x. (n-1)!$ et j'ai un gros doute.

En fait j'ai compris : $f^x(n+1).f^{1-x}(n)= (n.f(n))^x.f^{1-x}(n)=n^x.f^x(n).f^{1-x}(n)=n^x.f(n)=n^x.(n-1)!$

Et là $f(n+x) \leq n^x. (n-1)!$ ok

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Q32c suite

$f(n+1)=f(x(n+x)+(1-x)(n+1+x))  \leq f^x(n+x).f^{1-x}(n+1+x)$

alors si $0<x\leq 1$; $f(n+1)=n! \leq f(n+x).((n+x)!)^{1-x}$

Même problème de factorielle.

En fait j'ai compris : $f^x(n+x).f^{1-x}(n+1+x)=f^x(n+x).((n+x)f(n+x))^{1-x}=(n+x)^{1-x}.f^x(n+x).f^{1-x}(n+x)=(n+x)^{1-x}.f(n+x)$

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Q32d

Si on reprend la question précédente, on a l'encadrement suivant :

$n! (n+x)^{x-1} \leq f(n+x) \leq n^x(n-1)!$

On injecte $\displaystyle{ f(n+x)= (\prod_{k=0}^{n-1} (x+k)).f(x) }$

$n! (n+x)^{x-1} \leq \prod_{k=0}^{n-1} (x+k)).f(x) \leq n^x(n-1)!$

Puis comme les produits sont non nuls :

$\displaystyle{ \frac{n! (n+x)^{x-1}}{\prod_{k=0}^{n-1} (x+k))} \leq f(x) \leq \frac{n^x(n-1)!}{\prod_{k=0}^{n-1} (x+k))} }$ cad $u_n(x) \leq f(x) \leq v_n(x)$

Comme $\Gamma$ vérifie les mêmes hypothèses du théorème de BM, $u_n(x) \leq \Gamma(x) \leq v_n(x)$

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Q32e

On est invité à estimer le quotient $\frac{v_n(x)}{u_n(x)}$ à $x$ fixé dans $]0,1[$ et quand $n \mapsto +\infty$

$\displaystyle{ \frac{v_n(x)}{u_n(x)}=\frac{n^x(n-1)!}{n! (n+x)^{x-1}} = (\frac{n}{n+x})^{x-1} }$ et la limite est bien $1$. Donc $u_n(x) \sim v_n(x)$

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Q32f

$u_n(x) \leq f(x) \leq v_n(x)$

On passe à la limite quand $n \mapsto +\infty$, par l'équivalence précédente le théorème des gendarmes ou du sandwich donne le résultat.

$\lim_{n \mapsto +\infty} u_n(x)=\lim_{n \mapsto +\infty} v_n(x)$ alors $\lim_{n \mapsto +\infty} u_n(x)=lim_{n \mapsto +\infty} v_n(x) =f(x)$

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Q32g

$\Gamma(x)$ vérifie les mêmes résultats donc $f=\Gamma$ car on a raisonné à $x$ fixé, donc valable sur $]0,1[$ de dimension infinie.

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Q32h

Avec la deuxième condition du théorème $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$, l'égalité $f=\Gamma$  sur $]0,1[$ alors l'équalité s'étend sur $\mathbb{R}^{+*}$

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Q33

Il semble manquer un facteur $n$ de chaque côté de l'inégalité pour conclure.

Cela vient du terme complémentaire dans le produit de la formule de la question.

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Q33

Voilà je tenais à terminer cette partie proprement.

Je réécris l'encadrement , on a $u_n(x) \leq f(x) \leq v_n(x)$

$\displaystyle{ \frac{n! (n+x)^{x-1}}{\prod_{k=0}^{n-1} (x+k))} \leq f(x) \leq \frac{n^x(n-1)!}{\prod_{k=0}^{n-1} (x+k))} }$ puis

$\displaystyle{ \frac{n! (n+x)^{x}}{\prod_{k=0}^{n} (x+k))} \leq f(x) \leq \frac{n^x(n-1)!(x+n)}{\prod_{k=0}^{n} (x+k))} }$

En utilisant des équivalents à $x$ fixé : 

$\displaystyle{ n! (n+x)^{x} \sim n!.n^x}$ et $\displaystyle{ n^x(n-1)!(x+n) \sim n!.n^x}$

Donc $\Gamma(x)=\lim_{n \mapsto +\infty} \dfrac{n!.n^x}{\prod_{k=0}^{n} (x+k)}$

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Bon, partie terminée ... Tout seul.