Polynôme bivarié sans facteur carré

Bonjour à tous,

Je m'intéresse à l'équation d'une ellipse $K(X,Y)=0$, et je me demande s'il existe une interprétation géométrique de $K$ est sans facteur carré. A défaut, quelle serait la méthode calculatoire recommandée pour montrer que $K$ est sans facteur carré ?

En vous remerciant,
K.

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Modifié (6 Feb)
    Dans le cadre la géométrie algébrique classique, tu n’as aucune interprétation géométrique possible : si on considère $P(X,Y) = Y-X$ et $Q(X,Y)=(Y-X)^2$, l’ensemble des zéros associé est le même. Si par contre, tu te places dans le cadre des schémas, les schémas associés sont différents (le premier s’injecte naturellement dans le second).

    Pour la seconde question, la réponse dépend du corps de base $\mathbb{K}$ : dans certains cas, il existe des algorithmes de factorisation efficaces. Peut-être existe-t-il une méthode plus simple, notamment en se plaçant dans l’anneau euclidien $\mathbb{K}(X)[Y]$.
  • On homogénéise $K(X,Y)$ en $Q(X,Y,Z)$ dont on calcule ensuite la signature par la méthode de Gauss par exemple.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (7 Feb)
    J’avais oublié dans ma réponse que tu supposais qu’il s’agissait de l’équation d’une ellipse, mais je ne suis pas sûr de comprendre la question du coup… Qu’est-ce que serait pour toi une équation d’une ellipse avec un facteur carré ?
  • Kolakoski
    Modifié (9 Feb)
    Effectivement, je me suis rendu compte que mon polynôme était irréductible, donc sans facteur carré ! 
    Je garde la technique de gai requin en tête.
    Merci pour vos réponses.
    K.
  • Bonjour,
    Si l'on s'intéresse à la classification affine (que ce soit pour une conique ou une quadrique), il est utile d'avoir non seulement la signature de la forme quadratique homogénéisée de l'équation, mais aussi de la partie quadratique de cette dernière.
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