Combien de carrés dans un cercle (6e)

Un petit exercice que j'aime bien en 6e, parce qu'il lève un gros implicite.

Combien de carrés de côté 2cm peut contenir un cercle de rayon 4cm? Les carrés ne doivent pas s'intersecter.

Un bon élève, immédiatement, m'écrit $A_{cercle} =R \times R \times \pi \approx 48cm^2$, $A_{carré} = c\times c = 4 cm^2$
$\dfrac {48} 4 = 12$, donc on peut en mettre à peu près $12$!

Mais bien sûr, il se montre incapable de tracer 12 carrés de côté 2 cm à l'intérieur de son cercle. Confusion intense.

Vu l'avez bien sûr vu le loup : calculer un quotient d'aires, ce n'est pas dire "combien de figures A puis-je mettre dans B", mais "combien de figures A, découpées aussi finement que je le veux, puis-je mettre dans B".

C'est franchement pas évident à faire comprendre aux élèves, mais ça amène des questionnements intéressants. ça permet aussi de montrer qu'on peut arriver à des conclusions totalement fausses (pouvoir mettre 12 carrés dans le cercle) en ce basant sur un raisonnement que tout les élèves trouvent licite au premier abords.

Réponses

  • Math Coss
    Modifié (5 Feb)
    Deux remarques un peu à côté...
    Après le théorème de Pythagore, tu peux faire entasser $12$ carrés de côté $2$ dans un disque de rayon $2\sqrt5\simeq4{,}47$.
    Le nombre maximal de carrés de côté $2$ qu'on peut entasser dans un disque de rayon $4$ est $8$ d'après cette page d'Erich Friedman où je prends les images ci-dessous (à gauche le rayon est $2\sqrt5$ ; à droite le rayon est légèrement supérieur à $1{,}978$).
        
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