Imaginaire pur

Bonjour,
j'ai cherché sur le forum avant de poser cette question mais je n'ai pas trouvé de réponse. le nombre 0 est considéré comme le seul nombre complexe à la fois réel et  imaginaire pur. J'ai aussi vu dans des manuels : " Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si son argument est pi/2 mod pi".
Ma question est : avez-vous déjà traité un exercice avec vos élèves dans lequel vous étiez gênés par le fait que 0 soit considéré comme un imaginaire pur ?

Réponses

  • Bonjour.

    Personne ne semble utiliser le concept de "réel pur"... et cela suggère que le concept de "imaginaire pur" est foireux.

    Cordialement, Pierre.
  • Matricule_63
    Modifié (5 Feb)
    De manière plus générale, dans un espace vectoriel $E$, $0_E$ est le seul élément qui appartient à tout les sous-espaces vectoriels de $E$.
    Effectivement, cela "pose problème", car il faut parfois traiter le cas $0$ à part.
    Maintenant, c'est déjà le cas à peu près partout en mathématiques.
  • JLapin
    Modifié (5 Feb)
    J'ai aussi vu dans des manuels : " Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si son argument est pi/2 mod pi".

    Ces manuels sont douteux.
    L'équivalence devrait être

    "Un nombre complexe non nul est imaginaire pur ssi ...."

  • Dom
    Dom
    Modifié (5 Feb)
    On a l’axe des réels (purs, si on veut). 
    On a l’axe des imaginaires purs, noté parfois $i\mathbb R$. Pour moi, zéro est dedans et la caractérisation avec l’argument est dangereuse et foireuse.  
  • zygomathique
    Modifié (5 Feb)
    Salut
    de toute façon le réel 0 n'ayant pas d'argument il est difficile de dire que ce pourrait être pi/2 !!!
    Ça me fait penser au mec qui n'a pas de bras et qui dit qu'il est droitier !!  :D 
    Donc 0 est exclus de fait d'une telle définition ... comme quand on parle de la direction d'un vecteur ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • @zygomathique, droitier/gaucher s'applique également aux pieds, au foot notamment.  :)
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Je suis droitier de la main et au foot je tire du pied gauche et prend appel sur le pied gauche pour le saut. 
    J’ai pensé que cela vous intéresserait 🤣
  • PetitLutinMalicieux
    Modifié (5 Feb)
    Bonjour
    Blazedell, tu as le même problème avec les réels. On a les positifs, on a les négatifs, et zéro appartient aux positifs et aux négatifs. Matricule_63 a déjà exprimé cette idée. Du coup, tu vas parfois devoir faire un cas particulier pour zéro. Je garde le résumé de Dom, qui est très bon.
  • Autant je peux comprendre qu’on considère qu’un imaginaire impur se trouve sali par la sordide réalité, autant je suis circonspect devant la notion d’un réel impur. 

  • @zeitnot : bien sûr mais bon l'idée est que ...

    @Dom : certains sont même gauches de la main droite et adroits de la main gauche !!

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Pour les Grecs $0$ n'était pas un nombre du tout.
  • JLapin
    Modifié (6 Feb)
  • Je pense qu'historiquement l'adjectif "pur" vient du fait qu'au début on ne croyait pas du tout à l'existence de bestioles du type $3+2i$. Du coup ce qu'on appelait "nombres imaginaires", c'était... tous les nombres complexes. Quand la terminologie a changé on a inventé le terme "imaginaire pur" pour éviter les confusions.
    Ceci dit ça m'est arrivé plusieurs fois qu'un élève (ou étudiant) me parle de "réel pur". Je n'ai jamais relevé, car pour moi ça signifiait que l'apprenant avait tout compris.
  • On peut aussi juste parler de complexe. On dira que $z$ est un imaginaire lorsque $Re(z)=0$
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (6 Feb)
    Il me semble, tout simplement, qu'un nombre complexe $z=a+\imath b$ (pour $(a,b)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}$) est imaginaire pur si et seulement si $a=0$. Autrement dit, les nombres imaginaires purs sont ceux de la forme $z=\imath b$ avec $b\in\mathbf{R}$ et on note alors $\imath\mathbf{R}$ leur ensemble.
    Oops. Je n'avais pas vu la réponse de @geo.
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